Effectif

Imaginez 20 plants rangés selon leur hauteur. Trois mesurent entre 10 et 15 cm, cinq entre 15 et 20 cm, huit entre 20 et 25 cm et quatre entre 25 et 30 cm. Chaque nombre obtenu en comptant les plants d’une classe est son effectif. L’ensemble des quatre nombres décrit la répartition observée, tandis que leur somme, 20, donne l’effectif total.

Dans une série statistique, l’effectif d’une valeur ou d’une classe est le nombre d’observations qui possèdent cette valeur ou appartiennent à cette classe. Ce nombre entier, nul ou positif, est aussi appelé effectif absolu. L’effectif total est le nombre de toutes les observations de la série ; si les valeurs ou classes considérées sont disjointes et couvrent toute la série, il est égal à la somme de leurs effectifs.

Pour une classe numérotée i, on note n_i son effectif et N l’effectif total. Sa fréquence relative, notée f_i, est la part de la série située dans cette classe : $f_i=\frac{n_i}{N}f\_i=\backslash frac\{n\_i\}\{N\}$, à condition que N soit strictement positif. Lorsque N est strictement positif et que les valeurs ou classes considérées forment une partition exhaustive et disjointe de la série, la somme des fréquences vaut 1, soit 100 %. Lorsque les valeurs ou les classes sont ordonnées, l’effectif cumulé jusqu’à une classe est la somme de son effectif et de tous ceux qui la précèdent. Les effectifs alimentent ainsi les tableaux de distribution et les histogrammes ; les fréquences sont préférables pour comparer des séries dont les effectifs totaux diffèrent.

On mesure la hauteur de 20 plants et on les répartit dans quatre classes de même largeur.
Données : de 10 à moins de 15 cm : 3 plants ; de 15 à moins de 20 cm : 5 plants ; de 20 à moins de 25 cm : 8 plants ; de 25 à 30 cm inclus : 4 plants.

1. Additionner les effectifs donne l’effectif total : 3 + 5 + 8 + 4 = 20 plants.
2. Pour la classe de 20 à moins de 25 cm, diviser 8 par 20 donne la fréquence 0,40, soit 40 %.
3. Les effectifs cumulés sont 3, puis 3 + 5 = 8, puis 8 + 8 = 16, enfin 16 + 4 = 20.
4. L’histogramme correspondant montre que la classe de 20 à moins de 25 cm possède l’effectif le plus élevé.

Les quatre fréquences sont 15 %, 25 %, 40 % et 20 %. Le contrôle consiste à vérifier deux totaux : les effectifs donnent 20 plants et les fréquences donnent 100 %.

Dans un tableau de données, on compte chaque observation une seule fois dans la valeur ou la classe qui lui correspond. On additionne ensuite les effectifs partiels pour contrôler que leur somme retrouve le nombre total d’observations.

Pour comparer deux groupes de même taille, les effectifs absolus se lisent directement. Si les tailles diffèrent, on emploie plutôt les fréquences relatives : elles rapportent chaque effectif à son propre total.

Pour suivre combien d’observations se situent au plus dans une classe, on calcule les effectifs cumulés. Ce calcul convient aux valeurs ordonnées, comme des tailles ou des durées, mais pas à des catégories sans ordre naturel.

Effectif et fréquence relative. L’effectif est un nombre d’observations ; lorsque l’effectif total est strictement positif, la fréquence est une proportion comprise entre 0 et 1, souvent exprimée en pourcentage. Dans une classe contenant 8 plants sur 20, l’effectif vaut 8 et la fréquence 40 %.

Effectif et valeur observée. Une valeur indique ce qui a été mesuré, tandis que l’effectif indique combien de fois cette valeur, ou sa classe, apparaît. Dans l’exemple des plants, 20 cm est une hauteur ; 8 est le nombre de plants de la classe allant de 20 à moins de 25 cm.

Série vide. Si l’effectif total vaut 0, tous les effectifs partiels valent 0, mais une fréquence exigerait une division par 0. Il faut signaler l’absence d’observations au lieu d’afficher 0 %.

Totaux différents. Un effectif plus grand ne signifie pas toujours une part plus grande. Une classe de 12 observations sur 100 représente 12 %, contre 40 % pour 8 observations sur 20 ; la comparaison pertinente porte ici sur les fréquences.

Classes de largeurs différentes. Dans un histogramme, comparer seulement la hauteur des rectangles peut être trompeur lorsque les intervalles n’ont pas la même largeur. Il faut alors construire les rectangles de sorte que leur aire représente l’effectif ou la fréquence.

Cumul sans ordre. Un effectif cumulé dépend de l’ordre des valeurs ou des classes. Pour des catégories comme des couleurs, changer l’ordre change le cumul sans apporter d’information stable ; il vaut mieux conserver les effectifs séparés.

histogramme — Pour relier les effectifs par classe à une représentation dont les aires traduisent la distribution.