histogramme

Cent trajets sont classés selon leur durée : de 0 à 10 minutes, de 10 à 20 minutes, puis dans des intervalles plus larges. La continuité des durées motive leur regroupement en intervalles ; comme les classes choisies sont adjacentes et couvrent l’intervalle étudié, les rectangles se touchent.

La quantité de trajets est représentée par l’aire du rectangle. Si toutes les classes ont la même largeur, une barre plus haute signifie donc un effectif plus grand. Si leurs largeurs diffèrent, il faut regarder ensemble la largeur et la hauteur : une barre deux fois plus large peut avoir la même aire tout en étant deux fois moins haute.

Un histogramme représente une série statistique quantitative continue regroupée en classes. Sur l’axe horizontal, chaque classe est un intervalle de valeurs, généralement noté [a_i, a_i+1[ : sa borne gauche est incluse et sa borne droite exclue. Un rectangle contigu est construit sur chaque intervalle. Ce choix de bornes évite de compter deux fois une valeur située à la frontière de deux classes.

L’information portée par le rectangle est son aire. Si n_i désigne l’effectif de la classe et si a_i+1 − a_i désigne son amplitude, une hauteur possible h_i est la densité d’effectif :L’aire vaut alors exactement n_i. On peut remplacer l’effectif par la fréquence ; les aires représentent alors les fréquences et leur somme vaut 1.

Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, diviser chaque effectif par cette largeur commune conserve les proportions : la hauteur peut alors être lue comme proportionnelle à l’effectif. Cette simplification courante n’est plus valable avec des classes de largeurs différentes. L’orientation habituelle place les classes en abscisse, mais la pyramide des âges les place verticalement et répartit deux effectifs de part et d’autre.

On rencontre un histogramme dans un bilan où de nombreuses mesures sont regroupées : durées, tailles ou autres valeurs pouvant varier continûment. L’axe des abscisses porte des intervalles numériques ordonnés. Les rectangles occupent ces intervalles sans espace, et leur largeur peut changer d’une classe à l’autre.

Ces marqueurs indiquent que le graphique décrit la répartition d’une série continue. La surface de chaque rectangle porte l’effectif ou la fréquence de sa classe. La graduation verticale doit donc préciser s’il s’agit d’une densité, sauf dans le cas particulier de classes de même amplitude où les hauteurs peuvent être directement proportionnelles aux effectifs.

La grandeur à lire est l’effectif, ou la fréquence, représenté par l’aire de chaque rectangle. La convention de l’axe vertical doit être vérifiée avant toute comparaison.

1. Repérez sur l’axe horizontal les deux bornes de la classe et calculez son amplitude.
2. Lisez la hauteur du rectangle sur l’échelle de densité.
3. Multipliez l’amplitude par la hauteur : le produit donne l’effectif de la classe. Additionnez les aires pour retrouver l’effectif total.

L’œil compare spontanément les sommets. Ce réflexe est fiable seulement lorsque les classes ont la même largeur. Avec des amplitudes différentes, deux rectangles de même hauteur peuvent représenter des effectifs différents ; le bon contrôle consiste à comparer leurs aires ou à refaire le produit largeur × hauteur.

On regroupe 100 temps de trajet, mesurés en minutes. Les données sont : 20 trajets dans [0, 10[, 30 dans [10, 20[, 40 dans [20, 40[ et 10 dans [40, 60[. Les amplitudes sont donc 10, 10, 20 et 20 minutes.

1. Pour [0, 10[, la densité d’effectif vaut 20 ÷ 10 = 2 trajets par minute.

2. Les trois autres hauteurs valent successivement 30 ÷ 10 = 3, 40 ÷ 20 = 2 et 10 ÷ 20 = 0,5 trajet par minute.

3. On trace les quatre rectangles contigus. Les classes [0, 10[ et [20, 40[ ont la même hauteur, mais la seconde est deux fois plus large et contient donc deux fois plus de trajets.

Le contrôle consiste à recalculer les aires : 10 × 2 + 10 × 3 + 20 × 2 + 20 × 0,5 = 20 + 30 + 40 + 10 = 100 trajets. Le total annoncé est bien retrouvé.

Pour résumer des durées de trajet nombreuses, on regroupe les mesures en intervalles et on construit un histogramme. Si les durées sont données comme des valeurs isolées avec peu de modalités, un diagramme en bâtons convient mieux.

Pour comparer deux séries, on vérifie d’abord qu’elles utilisent les mêmes bornes de classes et la même échelle verticale. Si les effectifs totaux diffèrent, représenter les fréquences permet de comparer des parts plutôt que des nombres bruts.

Pour contrôler un histogramme déjà tracé, on multiplie la largeur de chaque classe par sa hauteur. Ce calcul est indispensable lorsque les amplitudes varient ; avec des classes de même largeur, la comparaison directe des hauteurs suffit pour ordonner les effectifs.

Un diagramme en bâtons représente une variable qualitative ou quantitative discrète par des segments ou des rectangles séparés, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif. Pour des durées regroupées en intervalles continus, les rectangles contigus et leurs aires caractérisent au contraire l’histogramme.

Le polygone des fréquences relie des points au lieu de remplir des rectangles. Dans l’exemple des temps de trajet, la présence de quatre surfaces accolées dont les aires valent 20, 30, 40 et 10 identifie l’histogramme.

Classes inégales. Une hauteur brute égale à l’effectif déforme la lecture lorsque les amplitudes diffèrent. Dans l’exemple, donner la hauteur 40 à la classe large de 20 minutes ferait porter à son rectangle une aire quatre fois plus grande que celle de la classe [0, 10[, au lieu du rapport d’effectifs 2. Il faut employer une densité.

Valeur sur une borne. Les classes [0, 10[ et [10, 20[ ne se chevauchent pas : 10 appartient à la seconde, pas à la première. Des intervalles qui se recouvrent ou laissent un trou rendent le classement ambigu ; il faut annoncer une convention de bornes cohérente.

Orientation inhabituelle. Les classes figurent normalement sur l’axe horizontal. La pyramide des âges est une exception notable : les classes d’âge sont placées sur l’axe vertical central, avec les effectifs masculins et féminins de part et d’autre. Il faut alors lire les aires selon cette orientation.

La fiche Effectif précise la quantité que représente l’aire de chaque rectangle.

Le Polygone des fréquences présente une autre représentation de la répartition et aide à distinguer points reliés et rectangles contigus.

La statistique descriptive situe l’histogramme parmi les outils employés pour organiser, représenter et résumer une série de données.