Polygone des fréquences
Le polygone des fréquences est une représentation graphique d'une distribution statistique obtenue, pour des classes de même largeur, en reliant par des segments de droite les points correspondant aux fréquences (ou fréquences relatives) de chaque classe, placées à l'abscisse du milieu de chaque classe. Lorsque les largeurs diffèrent, la hauteur peut devoir représenter une densité. C'est une alternative à l'histogramme qui peut, selon l'objectif de comparaison et la lisibilité du graphique, aider à visualiser l'allure générale de la distribution et à comparer plusieurs distributions sur un même graphique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les classes, leurs milieux, leurs fréquences et les segments du polygone.
- Construire et contrôler un polygone à partir d'un tableau de cinq classes.
- Distinguer un polygone des fréquences d'un histogramme et d'un tracé cumulé.
- Reconnaître les précautions liées aux classes inégales ou incompatibles.
En clair
Imaginez des valeurs rangées dans des intervalles de même largeur. Pour chaque intervalle, marquez un point au-dessus de son milieu : plus la classe est fréquente, plus le point est haut. Si les largeurs diffèrent, la hauteur peut devoir représenter une densité. En reliant les points dans l'ordre, une ligne brisée apparaît.
Cette ligne est le polygone des fréquences. Ses montées, ses sommets et ses descentes rendent visible la répartition des données. Plusieurs lignes tracées avec les mêmes classes permettent aussi de comparer rapidement deux distributions.
Définition
Un polygone des fréquences représente une série statistique regroupée en classes. Sur l'axe horizontal, chaque point a pour abscisse le milieu de sa classe. Sur l'axe vertical, son ordonnée est soit l'effectif de cette classe, soit sa fréquence relative, selon la convention choisie. Les points sont ensuite reliés, dans l'ordre des classes, par des segments de droite.
Si la borne inférieure de la classe numéro i est notée ai et sa borne supérieure bi, son milieu mi est donné par . Le point associé a donc pour coordonnées le milieu mi et la fréquence fi de la classe.
Les effectifs conviennent pour deux séries de même taille. Les fréquences relatives, obtenues en divisant chaque effectif par l'effectif total, sont préférables lorsque les tailles diffèrent. Fermer la ligne jusqu'à l'axe horizontal est une convention graphique ; les points placés aux milieux et leurs segments constituent l'information essentielle.
De quoi c'est fait
Le graphique repose sur quatre éléments. Les classes ordonnent les données par intervalles. Leurs milieux fixent les positions horizontales. Pour des classes de même largeur, les effectifs ou fréquences relatives fixent les hauteurs ; si les largeurs diffèrent, une densité peut être nécessaire. Enfin, les segments relient deux classes successives et forment la ligne brisée.
Chaque point dépend donc à la fois des bornes de sa classe et de la fréquence mesurée. L'ordre des segments dépend de l'ordre des classes. Ces données suffisent à construire le polygone et à repérer où la distribution monte ou descend. La couleur, l'épaisseur du trait et la présence de marques sur les points ne définissent pas l'objet.
Un exemple, pas à pas
Une série de 50 mesures est regroupée dans cinq classes de même largeur : [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[, [30 ; 40[ et [40 ; 50[. Leurs effectifs sont respectivement 5, 10, 15, 10 et 10.
1. Divisez chaque effectif par 50 : les fréquences relatives sont 10 %, 20 %, 30 %, 20 % et 20 %.
2. Calculez les milieux des classes : 5, 15, 25, 35 et 45.
3. Placez les points (5 ; 10 %), (15 ; 20 %), (25 ; 30 %), (35 ; 20 %) et (45 ; 20 %).
4. Reliez les cinq points dans cet ordre.
2. Calculez les milieux des classes : 5, 15, 25, 35 et 45.
3. Placez les points (5 ; 10 %), (15 ; 20 %), (25 ; 30 %), (35 ; 20 %) et (45 ; 20 %).
4. Reliez les cinq points dans cet ordre.
Le polygone atteint ici sa plus grande hauteur au milieu 25, pour une fréquence de 30 %. Le dessin rend ce sommet visible sans masquer les valeurs utilisées. Pour contrôler le calcul, additionnez les effectifs, qui donnent 50, puis les fréquences, qui donnent 100 %.
En pratique
Pour voir l'allure d'une distribution, suivez les montées et les descentes de la ligne. Un histogramme reste préférable si l'on veut insister sur l'étendue occupée par chaque classe.
Pour comparer deux groupes, utilisez les mêmes classes et des fréquences relatives, puis superposez les deux polygones. Lorsque les groupes n'ont pas le même effectif total, les fréquences relatives sont nécessaires pour comparer leurs proportions ou leurs distributions normalisées ; les effectifs restent adaptés à la comparaison des quantités brutes.
Pour construire le tracé depuis un tableau, vérifiez d'abord les bornes, les milieux et le total. Un tableau est plus adapté si les valeurs exactes comptent davantage que la forme générale.
À ne pas confondre
Avec un histogramme. L'histogramme représente les classes par des rectangles contigus, tandis que le polygone relie des points placés aux milieux. Pour la classe [20 ; 30[, le premier montre un rectangle ; le second utilise le point d'abscisse 25.
Avec un polygone des fréquences cumulées. Un polygone ordinaire porte la fréquence de chaque classe. Un tracé cumulé porte la somme atteinte jusqu'à une borne. Avec 10 %, puis 20 %, le second niveau cumulé vaut 30 %, alors que le point ordinaire de la deuxième classe vaut 20 %.
Limites et pièges
Classes de largeurs inégales. Relier directement les fréquences peut donner une impression trompeuse, car une classe plus large couvre davantage de valeurs. Il faut alors préciser la convention choisie et, si l'objectif est de comparer les concentrations, examiner des densités plutôt que les seules fréquences.
Une seule classe. Un point isolé ne forme aucun segment : il n'y a donc pas de polygone au sens du tracé en ligne brisée. Le tableau ou un repère portant ce point décrit mieux l'information disponible.
Effet des regroupements. Deux découpages différents d'une même série produisent des milieux et des fréquences différents. Une comparaison n'est lisible que si les polygones reposent sur les mêmes classes ; sinon, il faut d'abord harmoniser les intervalles.
Pour aller plus loin
histogramme — Comparez la ligne brisée aux rectangles qui représentent la même distribution par classes.
Effectif — Retrouvez la quantité qui sert à calculer la fréquence de chaque classe et l'effectif total.
classe d'une série statistique — Approfondissez le regroupement en intervalles dont les milieux fournissent les abscisses du polygone.
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