Probabilités et statistiquesReprésentation graphique · Glossaire
courbe de Lorenz
La courbe de Lorenz est une représentation graphique utilisée en statistiques descriptives et en économie pour visualiser les inégalités de distribution d'une grandeur au sein d'une population. On porte en abscisse le pourcentage cumulé des effectifs (classés par ordre croissant de la grandeur étudiée) et en ordonnée le pourcentage cumulé correspondant de la masse totale de cette grandeur. Dans le cas des inégalités de revenus, l'axe des abscisses représente le pourcentage de ménages dont le revenu est inférieur à un certain seuil, et l'axe des ordonnées le pourcentage de la masse salariale totale détenue par ces ménages. La courbe de parfaite égalité est la diagonale du carré unité : tout écart entre la courbe de Lorenz et cette diagonale traduit une inégalité de distribution. Si une courbe de Lorenz se situe en tout point sous une autre, elle décrit une distribution plus inégalitaire au sens de la dominance de Lorenz. L'indice de Gini, compris entre 0 (égalité parfaite) et 1 (inégalité maximale), se calcule comme le double de l'aire comprise entre la diagonale et la courbe de Lorenz.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux axes, la diagonale d'égalité et la signification d'un point de la courbe.
- Construire six points à partir de cinq revenus classés et de leurs cumuls.
- Calculer l'aire par trapèzes puis un indice de Gini égal à 0,40.
- Repérer les limites liées aux valeurs négatives, aux données groupées et aux échantillons finis.
En clair
Imaginez cinq ménages rangés du revenu le plus faible au plus élevé. On les ajoute un à un, tout en additionnant les revenus qu'ils détiennent. Si les 40 % les moins riches ne réunissent que 15 % du revenu total, le point correspondant est placé à 40 % horizontalement et 15 % verticalement.
La courbe de Lorenz relie tous ces points. La diagonale représente un partage parfaitement égal. Une courbe située partout plus loin de cette diagonale signale une répartition plus inégale.
Définition
La courbe de Lorenz représente la part cumulée d'une grandeur détenue par une part cumulée de la population. Les individus ou ménages sont d'abord classés par valeur croissante. La grandeur doit être additionnable, et son total doit être strictement positif pour que les parts soient définies.
Pour une population de n unités, on note xi la valeur de la ie unité après classement. Au rang k, l'abscisse vaut k/n et l'ordonnée est la part cumulée L(k/n) : . On ajoute les points (0, 0) et (1, 1), puis on relie les points successifs.
Avec des valeurs non négatives, la courbe reste sous la diagonale d'égalité L(p) = p. Elle coïncide avec cette diagonale lorsque toutes les valeurs sont égales. Si B désigne l'aire sous la courbe dans le carré unité, l'indice de Gini vaut . Il varie de 0 à 1 dans le cadre usuel, la valeur 1 étant une borne extrême.
Où on le rencontre
Dans un rapport sur la distribution des revenus, la courbe apparaît dans un carré gradué de 0 à 100 % sur les deux axes. La population est cumulée horizontalement, du groupe le moins doté au groupe le plus doté. La grandeur totale correspondante est cumulée verticalement.
Quatre marqueurs permettent de la reconnaître : le départ en (0 %, 0 %), l'arrivée en (100 %, 100 %), la diagonale d'égalité et une ligne brisée ou lissée située sur ou sous cette diagonale. Le graphique porte ainsi toute la répartition cumulée, pas seulement une moyenne ou une valeur centrale.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est la part du total détenue par une fraction donnée de la population, après classement croissant. Les deux axes utilisent la même convention : 0 représente aucun effectif ou aucune masse, et 100 % représente le total.
1. Choisissez une abscisse, par exemple 40 % de la population. 2. Rejoignez la courbe verticalement. 3. Lisez l'ordonnée : 15 % signifie que les 40 % les moins dotés détiennent ensemble 15 % de la grandeur.
Pour comparer deux répartitions, observez la courbe la plus proche de la diagonale à chaque abscisse. Si les courbes se croisent, cette lecture ne fournit plus un classement global. Il faut alors comparer des parts précises ou employer un indicateur annoncé.
L'œil peut prendre la hauteur de la courbe pour un revenu. C'est une part cumulée, non un montant individuel : le bon réflexe consiste à lire ensemble le pourcentage horizontal et le pourcentage vertical.
Un exemple, pas à pas
Cinq ménages ont respectivement 10, 20, 30, 40 et 100 unités de revenu.
Données :
Les revenus sont déjà classés par ordre croissant.
La population totale compte 5 ménages.
Le revenu total vaut 200 unités.
Données :
Les revenus sont déjà classés par ordre croissant.
La population totale compte 5 ménages.
Le revenu total vaut 200 unités.
1. Chaque ménage représente 1/5 de la population, soit 20 %. Les parts cumulées de population sont donc 20 %, 40 %, 60 %, 80 % et 100 %.
2. Les revenus cumulés valent 10, 30, 60, 100 et 200 unités. Rapportés au total de 200, ils représentent 5 %, 15 %, 30 %, 50 % et 100 %.
3. La courbe relie (0 %, 0 %), (20 %, 5 %), (40 %, 15 %), (60 %, 30 %), (80 %, 50 %) et (100 %, 100 %). On lit notamment que les 40 % les moins dotés réunissent 15 % du revenu total.
4. L'aire B sous cette ligne brisée est la somme de cinq trapèzes de largeur 0,2 : .
5. L'indice obtenu vaut . Contrôle : l'aire sous la diagonale vaut 0,50 ; l'écart mesure donc 0,50 − 0,30 = 0,20, dont le double redonne 0,40. Le tracé rend visibles les six points et cet écart.
En pratique
Pour étudier des revenus, on classe les ménages puis on cumule effectifs et revenus. La courbe de Lorenz est préférable à la seule moyenne quand la question porte sur la répartition de tout le total ; la moyenne reste adaptée au niveau moyen.
Pour comparer deux populations de tailles différentes, on trace leurs parts en pourcentage sur le même repère. Une conclusion globale par proximité de la diagonale est possible si les courbes ne se croisent pas. En cas de croisement, des parts cumulées choisies ou plusieurs indicateurs rendent la comparaison explicite.
Pour résumer une courbe par un nombre, on calcule l'indice de Gini à partir de l'aire. La courbe reste préférable si l'on veut savoir à quels niveaux de population l'écart se forme, car un indice unique ne montre pas la forme de la répartition.
À ne pas confondre
Fonction de répartition. Son axe horizontal porte les valeurs ou seuils de la variable, tandis que son axe vertical porte la proportion d'observations inférieures à ce seuil. La courbe de Lorenz place des parts cumulées sur les deux axes. Pour « revenu inférieur à 30 unités », on utilise une fonction de répartition ; pour « part du revenu détenue par les 40 % les moins dotés », on utilise une courbe de Lorenz.
Indice de Gini. La courbe de Lorenz est un graphique complet, alors que l'indice de Gini est un nombre tiré de l'aire entre cette courbe et la diagonale. Deux répartitions peuvent donc être comparées point par point avec leurs courbes, ou globalement avec leurs indices ; ces deux sorties ne répondent pas à la même question.
Limites et pièges
Total nul. Si la somme de la grandeur vaut 0, les parts cumulées comportent une division par zéro. La courbe usuelle et l'indice associé ne sont pas définis ; il faut revenir aux valeurs brutes ou choisir une autre description.
Valeurs négatives. Avec des dettes ou des revenus négatifs, la courbe peut sortir du carré unité ou franchir la diagonale. L'interprétation « plus éloignée, donc plus inégale » n'est alors plus automatique ; il faut annoncer la convention retenue et traiter séparément les valeurs négatives.
Données groupées. Une courbe construite par classes relie seulement les cumuls connus et masque les écarts à l'intérieur de chaque classe. Le symptôme est un tracé très peu détaillé ; lorsque les données individuelles existent, il faut les employer pour le calcul.
Maximum dans un échantillon fini. Dans le cadre non négatif, 0 correspond à l'égalité parfaite et 1 est la borne d'inégalité maximale. Mais avec n observations de même poids et une seule valeur non nulle, le Gini empirique usuel vaut (n − 1)/n : avec 5 ménages, il atteint 0,8, pas 1. Une correction normalisée doit être signalée si l'on veut ramener ce maximum à 1.
Pour aller plus loin
Indice de Gini — Retrouvez le nombre qui résume l'aire entre la courbe de Lorenz et la diagonale d'égalité.
Statistique descriptive — Situez la courbe de Lorenz parmi les outils qui décrivent et résument une série de données.
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