Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
médiale
Pour une série quantitative à valeurs non négatives, de somme strictement positive et rangée par ordre croissant, la médiale est la valeur-seuil au niveau de laquelle le cumul atteint ou franchit la moitié de la somme totale, avec une convention explicite si elle est interpolée entre deux valeurs. Elle partage donc la masse des valeurs en deux, tandis que la médiane partage l'effectif. Cette distinction aide à décrire la concentration d'une distribution.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Comprendre pourquoi la médiale partage une somme cumulée plutôt qu'un effectif.
- Calculer la médiale des revenus 10, 20, 30, 40 et 100 unités.
- Vérifier que 40 unités séparent deux masses de 100 unités.
- Distinguer la valeur médiale de l'abscisse de 80 % lue sur la courbe de Lorenz.
- Reconnaître les cas qui exigent une interpolation ou rendent l'interprétation usuelle inadaptée.
En clair
Imaginez cinq revenus classés : 10, 20, 30, 40 et 100 unités. Leur total vaut 200. Les quatre premiers revenus réunissent 100 unités, soit exactement la moitié du total. La valeur 40 marque donc ici la médiale.
La médiale cherche ainsi où la moitié de la somme est atteinte. Elle ne coupe pas forcément le groupe en deux parts égales : dans cet exemple, quatre personnes sur cinq sont nécessaires pour cumuler la moitié des revenus.
Définition
La médiale est un paramètre de position pour une série quantitative dont les valeurs sont rangées par ordre croissant. On additionne d'abord toutes les valeurs. La médiale repère ensuite le seuil auquel la somme cumulée atteint la moitié de ce total. Dans l'usage usuel, les valeurs sont non négatives et leur total est strictement positif, afin que le cumul progresse de 0 vers 100 %.
Si xi désigne la valeur de rang i, S le total de la série et Ck la somme des k premières valeurs, on cherche le rang où Ck atteint S/2. Lorsque Ck = S/2, xk fournit directement la médiale. Lorsque la moitié tombe entre Ck et Ck+1, une convention d'interpolation peut placer la médiale entre xk et xk+1 ; le résultat n'est alors pas nécessairement une valeur observée.
Sur une courbe de Lorenz, l'ordonnée 0,5 signifie que la moitié de la masse totale est cumulée. Son abscisse, notée ici p50, est la proportion cumulée d'observations nécessaire pour atteindre cette moitié. Cette proportion permet de retrouver le rang du seuil médial, mais elle n'a pas la même unité que la valeur de la médiale.
Un exemple, pas à pas
Cinq ménages ont des revenus de 10, 20, 30, 40 et 100 unités, déjà classés par ordre croissant.
Données :
L'effectif total est 5.
La masse totale vaut 200 unités.
La moitié recherchée vaut 100 unités.
Données :
L'effectif total est 5.
La masse totale vaut 200 unités.
La moitié recherchée vaut 100 unités.
1. Calculons les revenus cumulés : 10, puis 10 + 20 = 30, puis 60, puis 100, puis 200 unités.
2. Comparons ces cumuls à la moitié du total : 200/2 = 100. Le cumul atteint exactement 100 au quatrième revenu, qui vaut 40 unités. La médiale de cette série est donc 40 unités.
3. Chaque ménage représente 20 % de l'effectif. Quatre ménages sur cinq sont nécessaires pour cumuler 100 unités ; sur la courbe de Lorenz, le point d'ordonnée 50 % a donc pour abscisse 80 %. La figure met en évidence cette lecture.
4. Contrôlons les deux parts : les quatre premiers revenus totalisent 10 + 20 + 30 + 40 = 100 unités, et le dernier revenu vaut lui aussi 100 unités. Les deux masses sont égales, même si les effectifs sont 4 et 1.
En pratique
Pour repérer quel niveau de salaire clôt la première moitié d'une masse salariale, classez les salaires puis suivez leur cumul. Si la question porte plutôt sur le salarié situé au milieu de l'effectif, utilisez la médiane.
Pour lire une distribution sur une courbe de Lorenz, partez de l'ordonnée 50 % et relevez la proportion cumulée correspondante sur l'axe horizontal. Si vous cherchez un montant en euros, revenez aux valeurs classées : l'abscisse de la courbe est une proportion, pas un salaire.
Pour comparer deux séries de tailles différentes, exprimez les cumuls en parts du total et de l'effectif. Si l'objectif est de résumer l'inégalité sur toute la distribution plutôt que de localiser le passage à 50 %, l'indice de Gini est plus adapté.
À ne pas confondre
Médiale et médiane. La médiale partage la somme cumulée ; la médiane partage l'effectif. Pour les revenus 10, 20, 30, 40 et 100, la médiane vaut 30, tandis que la médiale vaut 40 : le critère de partage change le résultat.
Médiale et moyenne. La moyenne divise le total par le nombre d'observations ; la médiale cherche où la moitié du total est cumulée. Dans l'exemple, la moyenne vaut 200/5 = 40 unités et la médiale vaut aussi 40, mais cette égalité numérique est fortuite.
Médiale et indice de Gini. La médiale localise le passage de la masse cumulée à 50 %. L'indice de Gini dépend de toute la courbe de Lorenz. Deux distributions peuvent donc atteindre 50 % au même rang sans avoir le même indice de Gini.
Limites et pièges
Moitié située entre deux cumuls. Si S/2 est strictement compris entre Ck et Ck+1, aucune valeur observée ne coupe exactement la somme en deux. Il faut annoncer la convention d'interpolation employée, au lieu de présenter la valeur interpolée comme une observation de la série.
Valeur et proportion confondues. Dans l'exemple, la médiale vaut 40 unités, tandis que l'abscisse du point de Lorenz d'ordonnée 0,5 vaut 0,8, soit 80 % de l'effectif. Vérifiez toujours l'unité portée par chaque axe avant de recopier un résultat.
Valeurs négatives ou total nul. Si des valeurs négatives font diminuer le cumul, ou si le total vaut 0, le passage par la moitié n'a plus l'interprétation usuelle d'un partage de masse. Il faut alors décrire la série autrement plutôt que forcer une médiale ou une courbe de Lorenz standard.
Égalités au seuil. Plusieurs observations peuvent avoir la même valeur autour du passage à 50 %. Le rang exact peut alors dépendre de la manière de traiter le groupe d'ex æquo, même si la valeur-seuil reste identique ; conservez le groupe et explicitez la convention de cumul.
Pour aller plus loin
médiane d'une série statistique — Comparer le partage de l'effectif au partage de la somme cumulée qui définit la médiale.
courbe de Lorenz — Apprendre à construire les parts cumulées et à lire l'abscisse correspondant à 50 % de la masse.
paramètre de position — Situer la médiale parmi les indicateurs qui résument une distribution par une valeur repère.
indice de Gini — Passer d'un seuil unique à une mesure fondée sur l'ensemble de la courbe de Lorenz.
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