Pour comprendre comment les mathématiciens arabes du Moyen Âge écrivent les nombres et les opérations, commençons par un exemple pratique. Dans son Livre sur l’arithmétique nécessaire aux scribes et aux marchands (Kitāb fi ma yaḥtāju ilayhi al-kuttāb wa l-‘ummāl min ‘ilm al-ḥisāb), le mathématicien Abū l-Waf ā al-Buzjanī (mort en 998) décrit la manière de multiplier deux nombres entiers, et propose d’illustrer cette méthode par l’exemple de 7857 multiplié par 3465. Il commence ainsi : « Pour multiplier sept et cinquante et huit cents et sept mille par cinq et soixante et quatre cents et trois mille, il faut commencer par multiplier sept mille par cinq [unités]. » Il ne représente aucun nombre par des chiffres, mais il écrit le nom de chaque chiffre utilisé en toutes lettres, accompagnés des nœuds (unités-dizaines-centaines-milliers).
Dans le cas de 7857 × 3465, il lui faut seize opérations dont les résultats sont placés laborieusement dans plusieurs lignes, tout en respectant la hiérarchie des nœuds. L’ensemble de l’opération occupe deux pages entières.
Pourtant Abū l-Waf ā connaissait les chiffres indiens et aurait pu les utiliser. Il ne le fait pas car, dit-il : « Celui qui maîtrise ce type de multiplication peut se passer du système utilisé par les Indiens dans leurs calculs en cosmographie, car ce type de calcul ne peut être vérifié par ni le calcul digital, ni par le calcul mental. Cette méthode lui est plus facile à utiliser que celle qui nécessite du sable et une planchette (takht) ou de l’encre, car le sable et la planchette ne se trouvent pas partout, et tout le monde ne pratique pas cette arithmétique [indienne]. Ce que nous proposons [ici] leur permet de se passer de tout cela. »
Dans son livre, Abū l-Waf ā s’adresse aux scribes, qu’ils soient expérimentés ou apprentis, mais également aux administrateurs de biens et aux commerçants et il ne cherche pas à leur proposer des techniques nouvelles pour effectuer leurs transactions.
Dans le paragraphe cité ci-dessus, Abū l-Waf ā évoque le calcul digital et une arithmétique utilisée par les spécialistes en astronomie. De quoi s’agit-il ?