chiffre arabe

Sur une étiquette portant 507, on voit seulement trois signes : 5, 0 et 7. Ce sont des chiffres arabes, choisis parmi les dix symboles de 0 à 9. Ensemble, ils écrivent un nombre.

Leur place change leur valeur : le 5 compte ici cinq centaines, tandis que le 7 compte sept unités. Le zéro garde vide le rang des dizaines. Ce système est dit décimal et positionnel.

Un chiffre arabe est l'un des dix symboles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ces symboles servent notamment à écrire les nombres naturels dans notre numération décimale de position. « Décimale » indique que le système repose sur dix chiffres. « De position » signifie que la valeur d'un chiffre dépend du rang qu'il occupe. Ainsi, dans 507, le 5 vaut cinq centaines, le 0 indique l'absence de dizaine et le 7 vaut sept unités.

Le nom « arabe » décrit une voie de transmission, non le lieu de naissance. Les chiffres de 1 à 9 sont attestés par des inscriptions en Inde dès le troisième siècle avant notre ère. Des textes indiens anciens documentent aussi la numération positionnelle et le zéro, nommé sunya, « vide » en sanskrit. La civilisation arabe adopte ce système au neuvième siècle, notamment grâce à Al-Khwarizmi. Il atteint ensuite l'Occident médiéval par Gerbert d'Aurillac au dixième siècle, puis par Fibonacci au douzième siècle après ses études en Afrique du Nord.

Le tracé n'est pas identique partout. Les formes occidentales viennent des chiffres ghubar employés au Maghreb et en Andalousie. Au Proche et au Moyen-Orient, le graphisme hindī reste plus proche de la notation indienne originelle. À la Renaissance, ce système supplante définitivement la numération romaine en Occident.

Une étiquette porte le nombre 507. Données :
le chiffre 5 occupe le rang des centaines ;
le chiffre 0 occupe le rang des dizaines ;
le chiffre 7 occupe le rang des unités.

1. Le rang des centaines donne 5 × 100, soit 500.
2. Le rang des dizaines donne 0 × 10, soit 0.
3. Le rang des unités donne 7 × 1, soit 7.

La décomposition par rangs s'écrit $507=5\times 100+0\times 10+7\times 1507\; =\; 5\; \backslash times\; 100\; +\; 0\; \backslash times\; 10\; +\; 7\; \backslash times\; 1$. Le résultat est donc cinq cent sept. Le zéro ne change pas la somme, mais il maintient le 5 au rang des centaines.

Le contrôle consiste à refaire l'addition : 500 + 0 + 7 = 507. Si le zéro était supprimé, l'écriture 57 placerait le 5 au rang des dizaines et ne représenterait plus le même nombre.

Pour lire une écriture comme 507, on repère d'abord chaque chiffre, puis son rang. Cette lecture explique pourquoi le même 5 ne vaut pas la même quantité dans 57 et dans 507.

Lorsqu'un rang ne contient aucune quantité, le zéro conserve sa place. Dans 507, il signale qu'il n'y a aucune dizaine et empêche de lire 57.

Dans un document ancien, la forme des signes aide à reconnaître la tradition employée. Les formes occidentales héritent du graphisme ghubar ; un graphisme hindī relève d'une autre évolution du même système.

Chiffre et nombre. Un chiffre est un symbole parmi 0 à 9 ; dans notre numération décimale, un nombre naturel s'écrit avec un ou plusieurs chiffres. Dans 507, trois chiffres écrivent un seul nombre.

Origine et transmission. L'expression « chiffres arabes » ne signifie pas que ces symboles sont nés dans la civilisation arabe. Leur origine est indienne ; leur nom courant rappelle leur adoption et leur transmission par le monde arabe.

Système et graphisme. Deux tracés différents peuvent appartenir à la même numération décimale de position. Les formes occidentales issues du ghubar et les formes hindī se distinguent visuellement sans constituer deux principes de numération.

Le nom peut masquer l'origine. Attribuer l'invention des chiffres à la civilisation arabe contredit les attestations indiennes. Il faut distinguer leur création en Inde de leur adoption au neuvième siècle par le monde arabe.

La forme occidentale n'est pas universelle. Reconnaître seulement les tracés 0 à 9 peut faire manquer les formes hindī du Proche et du Moyen-Orient. Il faut alors identifier le système par son principe positionnel, pas seulement par le dessin des signes.

Un zéro intérieur n'est pas superflu. Dans 507, supprimer le zéro produit 57 : le 5 passe du rang des centaines à celui des dizaines. Il faut conserver un zéro chaque fois qu'un rang vide sépare deux chiffres significatifs.

Le zéro, ce héro présente un prolongement consacré au symbole qui marque le rang vide dans une écriture comme 507.

La géométrie des équations chez al-Khwārizmī replace Al-Khwarizmi dans une autre facette de l'histoire des mathématiques arabes.

La numération binaire pour représenter des données permet de comparer la base dix à un système positionnel qui n'emploie que deux chiffres.