numération de position

Dans 402, le chiffre 4 ne vaut pas quatre unités : placé au rang des centaines, il vaut quatre centaines. Le chiffre 2 vaut deux unités. Entre eux, le zéro garde libre le rang des dizaines.

La numération de position organise ainsi les quantités par paquets. En base 10, dix unités forment une dizaine et dix dizaines forment une centaine. Changer de base change la taille des paquets, mais pas le rôle des positions.

Une numération de position représente un nombre par une suite de chiffres dont la valeur dépend à la fois du chiffre et de son rang. La base, notée b, est le nombre d’unités regroupées pour former une unité du rang suivant. Dans le cadre usuel, b est un entier au moins égal à 2 et les chiffres possibles vont de 0 à b − 1. Le zéro signale qu’aucune unité d’un certain rang n’est présente, tout en conservant ce rang.

En comptant les rangs depuis la droite à partir de zéro, le chiffre du rang k est noté d_k. Pour une écriture finie allant du rang 0 au rang n, sa valeur est :

La base décimale emploie b = 10 ; la base binaire, b = 2 ; la numération maya peut employer la base 20 et la numération babylonienne la base 60. Un système additif attribue au contraire une valeur aux signes puis les combine principalement par addition, comme dans les numérations grecque ou romaine. Des systèmes hybrides mêlent des mécanismes positionnels et additifs.

On lit l’écriture décimale 402. Les données sont la base 10 et, de gauche à droite, les chiffres 4, 0 et 2. On cherche la contribution de chaque rang, puis on contrôle l’écriture par divisions successives.

1. Associer les rangs aux puissances de 10 : le 4 occupe le rang 10², le 0 le rang 10¹ et le 2 le rang 10⁰.

2. Calculer les contributions : $4\times {10}^2=4004\backslash times10^2=400$, $0\times 10=00\backslash times10=0$ et $2\times 1=22\backslash times1=2$.

3. Additionner ces contributions : $400+0+2=402400+0+2=402$. L’écriture représente donc exactement 402 unités.

4. Contrôler dans l’autre sens : la division de 402 par 10 donne le quotient 40 et le reste 2 ; celle de 40 donne le quotient 4 et le reste 0 ; celle de 4 donne le quotient 0 et le reste 4. Lus du dernier au premier, les restes redonnent 402.

La décomposition en trois contributions rend visible le rôle distinct de chaque position, notamment celui du zéro central.

Pour lire une écriture, on repère d’abord sa base, puis on associe chaque chiffre à la puissance correspondante. L’écriture décimale convient aux calculs usuels ; une autre base est préférable lorsqu’elle est explicitement imposée par le contexte.

Pour convertir un entier non négatif vers une base donnée, on effectue des divisions successives par cette base et l’on relève les restes. La décomposition directe par puissances est souvent préférable pour vérifier un petit nombre, car chaque contribution reste visible.

Pour comparer deux écritures données dans des bases différentes, on évalue leurs positions dans une même base avant de comparer les valeurs. Comparer seulement les suites de chiffres peut tromper, puisque leur poids change avec la base.

Système positionnel et système additif. Dans un système positionnel, déplacer un chiffre change son poids : le 4 de 402 vaut 400. Dans un système additif, les signes conservent principalement leur valeur et sont combinés, comme dans une écriture romaine.

Nombre et écriture du nombre. Le nombre est la quantité représentée ; sa suite de chiffres dépend de la base choisie. Deux écritures différentes peuvent donc représenter le même nombre après évaluation de leurs positions.

Base absente. Une suite comme 402 ne suffit pas toujours à déterminer une valeur : sa lecture dépend de la base. Il faut rechercher une base annoncée ou une convention de contexte avant de calculer.

Chiffre impossible. En base b, les chiffres autorisés vont de 0 à b − 1. La présence d’un chiffre égal ou supérieur à b signale une écriture invalide dans cette base ; il faut corriger le chiffre ou la base déclarée.

Zéro omis au milieu. Retirer le zéro de 402 donne 42 et déplace le 4 du rang des centaines vers celui des dizaines. Un rang sans unité doit donc garder son zéro lorsqu’un rang supérieur et un rang inférieur sont tous deux écrits.

Base 1. La règle usuelle des chiffres de 0 à b − 1 et des puissances distinctes suppose b ≥ 2. À b = 1, cette écriture positionnelle standard ne fonctionne pas ; une notation unaire relève d’une autre convention.

base de numération — Préciser comment le choix de la base fixe les chiffres disponibles et le poids des rangs.

La numération binaire pour représenter des données — Observer l’usage concret d’un système positionnel qui ne dispose que de deux chiffres.

numération romaine — Comparer le mécanisme positionnel à une numération principalement additive à l’aide d’un cas précis.