ArithmétiqueNotion · Glossaire
écriture d'un nombre en chiffres
L'écriture d'un nombre en chiffres dépend du système de numération adopté, notamment de la base choisie et des symboles (chiffres) utilisés. Le choix d'une base permet de représenter tous les entiers naturels avec un nombre fini de chiffres distincts. En base deux, on parle d'écriture binaire ; en base dix, d'écriture décimale ; en base soixante, d'écriture sexagésimale ; et en base b quelconque, d'écriture en base b. On distingue également l'écriture en toutes lettres, qui est la transcription écrite du système de numération orale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer un nombre de son écriture et de ses chiffres.
- Relier la valeur d'une position à une puissance de la base.
- Convertir 45 de la base dix vers la base deux et contrôler le résultat.
- Repérer une base absente, un chiffre interdit ou des zéros initiaux.
En clair
Sur une étiquette, le nombre quarante-cinq peut apparaître sous la forme 45. Les deux signes ne valent pas seulement « quatre puis cinq » : leur place indique 4 dizaines et 5 unités.
Changer de base revient à changer les valeurs de position disponibles. Le même nombre s'écrit 101101 en base deux : chaque place vaut alors une puissance de deux. Le nombre reste le même ; seule son écriture change.
Définition
L'écriture en chiffres est une représentation d'un nombre au moyen d'un système de numération. Dans un système positionnel de base b, la base b est un entier au moins égal à 2. On utilise b chiffres distincts, qui représentent les valeurs de 0 à b − 1. La contribution d'un chiffre à la valeur représentée dépend de sa position.
Pour un entier naturel noté n, les chiffres sont notés a0, a1, jusqu'à am. Le chiffre ak occupe la position k en partant de la droite. La valeur représentée est :
Chaque chiffre vérifie 0 ≤ ak < b. Sans zéro initial, cette écriture est unique. Les entiers négatifs demandent en plus un signe ou une autre convention de codage.
La base dix donne l'écriture décimale avec dix chiffres. La base deux donne l'écriture binaire avec 0 et 1. Une écriture en base soixante est sexagésimale et exige soixante valeurs de chiffres, même si leur notation concrète varie selon le système adopté.
Un exemple, pas à pas
On veut écrire en base deux le nombre 45, donné ici en base dix. Les données sont donc le nombre 45, la base d'arrivée 2 et les deux chiffres autorisés, 0 et 1. La méthode consiste à effectuer des divisions euclidiennes successives par 2 et à conserver chaque reste.
1. 45 = 2 × 22 + 1.
2. 22 = 2 × 11 + 0.
3. 11 = 2 × 5 + 1.
4. 5 = 2 × 2 + 1.
5. 2 = 2 × 1 + 0.
6. 1 = 2 × 0 + 1.
2. 22 = 2 × 11 + 0.
3. 11 = 2 × 5 + 1.
4. 5 = 2 × 2 + 1.
5. 2 = 2 × 1 + 0.
6. 1 = 2 × 0 + 1.
Les restes se lisent de la dernière division à la première : 101101. Ainsi, 45 en base dix s'écrit 101101 en base deux. Le contrôle refaisable additionne les valeurs des positions marquées par 1 : 32 + 8 + 4 + 1 = 45. La décomposition par valeurs de position rend ce contrôle visible.
En pratique
Dans la vie courante, les prix, les quantités et les numéros sont généralement écrits en base dix. On choisit cette écriture lorsque les positions unités, dizaines et centaines sont le repère attendu par le lecteur.
En informatique, une valeur peut être écrite en base deux. Cette forme est préférable lorsqu'il faut suivre directement des positions binaires ne prenant que les chiffres 0 et 1 ; l'écriture décimale reste plus compacte pour une lecture humaine ordinaire.
La base soixante intervient notamment lorsque chaque position se regroupe par paquets de 60. Pour lire une durée composée d'heures, de minutes et de secondes, il faut d'abord identifier les unités affichées, car une notation à séparateurs n'est pas un nombre décimal ordinaire.
À ne pas confondre
Le nombre et son écriture. Un nombre est l'objet mathématique ; une écriture est une manière de le représenter. Le nombre quarante-cinq est identique dans 45 en base dix et 101101 en base deux.
Un chiffre et un nombre. Un chiffre est un symbole élémentaire d'une numération. Dans l'écriture décimale 45, 4 et 5 sont des chiffres, tandis que 45 désigne le nombre représenté.
L'écriture en chiffres et l'écriture en lettres. « 45 » emploie des chiffres ; « quarante-cinq » transcrit la numération orale. Le critère est la nature des symboles utilisés, non le nombre désigné.
Limites et pièges
Base non précisée. La suite 101101 ne détermine pas seule un nombre : elle vaut 45 en base deux, mais 101 101 en base dix. Il faut indiquer la base lorsque le contexte ne la fixe pas.
Chiffre interdit. En base b, chaque chiffre doit représenter une valeur strictement inférieure à b. Le symbole 2 rend donc invalide une écriture binaire ; il faut corriger l'écriture ou la base annoncée.
Zéros initiaux. 00101101 et 101101 représentent tous deux 45 en base deux. Pour retrouver l'unicité de l'écriture d'un entier naturel, on supprime les zéros placés à gauche, sauf pour écrire le nombre zéro lui-même.
Au-delà des entiers naturels. Un entier négatif exige un signe ou une convention de codage. Une partie fractionnaire exige aussi des positions de poids négatif. La seule suite de chiffres de l'entier naturel ne suffit plus.
Pour aller plus loin
L'article écriture binaire approfondit la représentation avec les seuls chiffres 0 et 1 et la lecture des puissances de deux.
L'article écriture décimale précise le système positionnel de base dix employé dans la plupart des écritures numériques courantes.
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