ArithmétiqueNotion · Glossaire
écriture en base b
L'écriture en base b désigne la représentation chiffrée d'un nombre dans un système de numération dont la base est un entier b. Chaque entier naturel peut alors être exprimé comme une combinaison de puissances de b, à l'aide d'un alphabet de b chiffres distincts. Ce principe général englobe les cas particuliers que sont l'écriture binaire (base 2), l'écriture décimale (base 10) et l'écriture sexagésimale (base 60).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier chaque position d'une écriture à une puissance de la base.
- Identifier les chiffres autorisés en base b et les conditions d'une écriture unique.
- Convertir 45 en base 2 par divisions euclidiennes successives.
- Contrôler 101101 en développant exactement ses puissances de 2.
- Repérer une base invalide, un chiffre interdit, des zéros initiaux ou une convention de signe séparée.
En clair
Dans le nombre décimal 45, le chiffre 4 compte quatre dizaines et le chiffre 5 compte cinq unités. Changez de base, et les places changent de valeur : elles valent successivement 1, b, b2, b3, où b est la base choisie.
En base 2, seuls les chiffres 0 et 1 sont disponibles. Le même nombre 45 s'écrit alors 1011012 : les six positions indiquent quelles puissances de 2 sont présentes. Le nombre ne change pas ; seule son écriture change.
Définition
Dans la numération positionnelle usuelle, la base b est un entier au moins égal à 2. Les chiffres autorisés représentent les valeurs de 0 à b − 1. Si n est un entier naturel, ses chiffres a0, a1, …, ak vérifient chacun 0 ≤ ai < b, et le chiffre de tête ak est non nul lorsque n l'est. La valeur de l'écriture est donnée par : .
Chaque position porte donc une puissance de b : unités pour b0, puis b1, b2, et ainsi de suite. Avec ces conditions et sans zéros initiaux, tout entier naturel possède une écriture unique. L'entier 0 est représenté par le seul chiffre 0. Un entier négatif s'écrit en plaçant un signe moins devant l'écriture de sa valeur absolue.
La base 2 donne l'écriture binaire, la base 10 l'écriture décimale et la base 60 l'écriture sexagésimale. Lorsque b dépasse 10, il faut convenir de symboles supplémentaires pour représenter toutes les valeurs de chiffres. Le choix graphique de ces symboles ne change pas la règle des puissances de b.
Un exemple, pas à pas
Convertissons l'entier décimal 45 en base 2. Les données sont le nombre 45, la base b = 2 et l'alphabet formé des chiffres 0 et 1. À chaque division euclidienne, le quotient devient le nombre à diviser et le reste fournit un chiffre.
1. Effectuons les divisions successives :
2. Lisons les restes du dernier au premier : 1, 0, 1, 1, 0, 1. On obtient donc 1011012.
3. Rendons leur valeur aux positions : . La décomposition par puissances montre quelles positions contribuent effectivement au total.
4. Additionnons les contributions non nulles : 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Le résultat est bien l'écriture 1011012 du nombre décimal 45.
5. Un second contrôle utilise le dernier chiffre : 45 est impair, donc sa division par 2 doit laisser le reste 1. Le dernier chiffre de 1011012 vaut bien 1, comme la première division.
En pratique
Pour convertir un entier décimal vers la base b, enchaînez les divisions euclidiennes par b et lisez les restes en sens inverse. Pour obtenir seulement la valeur décimale d'une écriture déjà donnée, la somme des chiffres multipliés par leurs puissances de b est plus directe.
Pour comparer des écritures données dans des bases différentes, ramenez-les à une même valeur avant de comparer leurs suites de chiffres. Ainsi, 1011012 a plus de chiffres que 4510, mais les deux écritures représentent le même entier.
Pour vérifier rapidement une conversion vers la base b, examinez le dernier chiffre : il doit être le reste de la division du nombre par b. Si ce contrôle réussit, il ne valide toutefois que ce reste ; développez ensuite toutes les puissances pour contrôler l'écriture entière.
À ne pas confondre
Le nombre et son écriture. Un nombre est une valeur, tandis qu'une écriture est une suite de chiffres choisie pour la représenter. Le test consiste à développer les positions : 1011012 et 4510 sont deux écritures du même nombre, car elles valent toutes deux 45 en décimal.
La base de numération et l'exposant. Dans 1011012, l'indice 2 annonce l'alphabet et les valeurs de position. Dans sa décomposition en puissances de 2, l'exposant 5 de 25 est l'indice de la sixième position à partir de la droite ; dans 25 pris isolément, 5 indique seulement l'exposant de la puissance. L'indice de base reste fixe pour toute l'écriture ; les exposants changent avec les positions.
Limites et pièges
Base trop petite. La numération positionnelle décrite ici exige b ≥ 2. Avec b = 1 et le seul chiffre 0, aucune somme de puissances pondérées par ce chiffre ne représente un entier positif. Il faut alors employer un autre système, par exemple une notation unaire qui n'obéit pas à ce contrat.
Chiffre hors alphabet. En base b, chaque chiffre doit être strictement inférieur à b. Le symptôme est immédiat : 1022 contient le chiffre 2, interdit en base 2. Il faut corriger la conversion, pas interpréter ce 2 comme une position supplémentaire.
Zéros initiaux. Les écritures 1011012 et 001011012 ont la même valeur. L'unicité de l'écriture suppose donc que le premier chiffre soit non nul, sauf pour le nombre 0. Supprimez les zéros placés à gauche avant de comparer deux représentations canoniques.
Entiers négatifs. Les chiffres et puissances décrivent directement un entier naturel. Pour −45, on écrit le signe moins devant 1011012. Une convention d'encodage qui remplace ce signe par une autre règle doit être annoncée séparément ; elle ne découle pas de la seule base.
Pour aller plus loin
écriture binaire — Approfondir le cas b = 2, où chaque position indique l'absence ou la présence d'une puissance de 2.
Division euclidienne — Retrouver pourquoi les quotients successifs et leurs restes livrent exactement les chiffres d'une écriture en base b.
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