écriture binaire

Imaginons cinq cases qui valent, de droite à gauche, 1, 2, 4, 8 et 16. Pour former vingt, on retient la case 16 et la case 4 : les autres restent vides. On inscrit 1 dans chaque case retenue et 0 dans les autres.

Lues de la case 16 à la case 1, les marques donnent 10100. L'écriture binaire fonctionne ainsi : la position de chaque 0 ou 1 indique une puissance de deux, comme la position d'un chiffre décimal indique une puissance de dix.

L'écriture binaire est une écriture positionnelle en base 2. Chaque rang porte une puissance de deux : le rang le plus à droite vaut 2⁰ = 1, le suivant 2¹ = 2, puis 2² = 4, et ainsi de suite. Le chiffre placé à un rang vaut 0 ou 1 et indique si la puissance correspondante est absente ou présente dans la somme.

Pour un entier naturel nommé N, les chiffres binaires sont notés d₀, d₁, jusqu'à d_m, en partant du rang des unités. Chacun vaut 0 ou 1, et la valeur représentée est donnée par la somme suivante :

Si N est strictement positif et si l'on exclut les zéros placés à gauche, le premier chiffre d_m vaut 1 et cette écriture est unique. Zéro s'écrit 0. L'indice 2 dans 10100₂ précise la base lorsque le contexte pourrait être ambigu. Cette suite représente vingt, car elle sélectionne 16 et 4. Pour un entier négatif, l'écriture mathématique ordinaire peut placer le signe moins devant l'écriture binaire de sa valeur absolue ; un encodage informatique de longueur fixée exige, lui, une convention supplémentaire.

Écrivons vingt en base 2. Les cinq puissances utiles, dans l'ordre décroissant, sont 16, 8, 4, 2 et 1. Le schéma associe à chaque poids le chiffre retenu dans 10100₂.

Données.
Entier à représenter : 20.
Poids disponibles : 16, 8, 4, 2 et 1.
Chiffres autorisés : 0 et 1.

Étape 1. Le plus grand poids qui ne dépasse pas 20 est 16. On écrit 1 à ce rang, puis il reste 20 − 16 = 4.

Étape 2. Le poids 8 dépasse le reste 4. On écrit donc 0 au rang de 8.

Étape 3. Le poids 4 égale le reste. On écrit 1, puis le nouveau reste vaut 4 − 4 = 0. Les rangs de poids 2 et 1 reçoivent alors chacun 0.

Résultat. La suite obtenue est 10100₂. Contrôle. En redonnant à chaque chiffre son poids, on retrouve exactement :

Pour convertir un petit entier décimal, on peut parcourir les puissances de deux de la plus grande à la plus petite. On inscrit 1 quand le poids peut être retranché du reste, sinon 0. Cette méthode convient quand les rangs restent peu nombreux.

Pour contrôler une écriture binaire, on remplace chaque 1 par le poids de son rang et on additionne. Avec 10100₂, seuls les poids 16 et 4 interviennent ; leur somme redonne vingt. Ce contrôle est préférable à une simple relecture visuelle.

En informatique, une suite de 0 et de 1 peut représenter un entier, mais son interprétation dépend aussi du format choisi. L'écriture positionnelle suffit pour un entier naturel ; pour une taille fixée ou un entier signé, il faut connaître la convention d'encodage avant de calculer sa valeur.

Le nombre et son écriture. Vingt et 10100₂ ne sont pas deux nombres différents : ce sont deux écritures du même entier, l'une en base dix et l'autre en base deux. Le contrôle consiste à recalculer 16 + 4.

Écriture en base 2 et code à deux symboles. Employer seulement 0 et 1 ne suffit pas à définir une numération positionnelle. Pour lire 10100 comme un entier, il faut aussi que les positions aient les poids successifs 1, 2, 4, 8 et 16.

Chiffre binaire et valeur du rang. Dans 10100₂, le 1 de gauche ne vaut pas seize par lui-même. C'est sa position qui lui attribue le poids 16 ; le même chiffre placé tout à droite aurait le poids 1.

Les zéros à gauche ne changent pas la valeur. 10100₂ et 0010100₂ représentent tous deux vingt. Pour une écriture canonique, on supprime ces zéros, sauf que zéro lui-même s'écrit 0.

Le sens de lecture commande les poids. Le rang de poids 1 est celui de droite. Lire les poids dans l'autre sens transforme le calcul. Il faut donc aligner chaque chiffre avec 1, 2, 4, 8, 16, puis poursuivre de droite à gauche.

Un signe ou une longueur fixée ajoute une convention. −10100₂ note naturellement l'opposé de vingt en écriture mathématique. Une suite de cinq chiffres sans signe ne permet pas, à elle seule, de décider qu'un entier est négatif : il faut connaître le codage employé.

Cette fiche traite les entiers. Pour écrire une partie fractionnaire, des rangs de poids 1/2, 1/4, 1/8 et ainsi de suite apparaissent à droite d'un séparateur. La conversion demande alors une méthode distincte et peut produire une écriture binaire infinie.

La numération binaire pour représenter des données prolonge la conversion des entiers vers les usages de suites binaires pour représenter des informations.

numération vigésimale offre un point de comparaison : les mêmes principes positionnels s'appliquent avec une base et des poids différents.