ArithmétiqueNotion · Glossaire
Hexadécimal
Le système hexadécimal est un système de numération en base 16. Il utilise les seize symboles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, où A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre chiffres binaires (bits), ce qui rend ce système naturellement adapté à la représentation des données informatiques. Par exemple, le nombre décimal 255 s'écrit FF en hexadécimal et 11111111 en binaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les seize chiffres de la base 16 et la valeur des lettres A à F.
- Convertir FF en 255 par les poids de position.
- Passer de FF à 11111111 par groupes de quatre bits.
- Éviter l'ambiguïté d'une écriture dont la base n'est pas indiquée.
En clair
Prenez le nombre 255. En écriture décimale, il occupe trois chiffres. En hexadécimal, il devient FF : après les symboles de 0 à 9, les lettres A à F représentent les valeurs de 10 à 15.
Cette écriture s'accorde directement avec le binaire. Un chiffre hexadécimal résume exactement quatre bits : F résume 1111, donc FF résume 11111111. On lit ainsi des données binaires par petits groupes plus courts, sans changer le nombre représenté.
Définition
L'hexadécimal est une numération positionnelle de base 16. Ses chiffres sont 0 à 9, puis A, B, C, D, E et F, qui valent respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15. La position la plus à droite compte les unités, la suivante les paquets de 16, puis viennent les paquets de 162, de 163, et ainsi de suite.
Si dk désigne le chiffre placé à la position k en partant de zéro à droite, la valeur d'une écriture à n + 1 chiffres est : . Chaque valeur dk est comprise entre 0 et 15.
Un chiffre hexadécimal possède aussi une traduction exacte sur quatre bits, de 0000 pour 0 à 1111 pour F. Cette correspondance permet de passer du binaire à l'hexadécimal par groupes de quatre bits, sans modifier la valeur représentée.
Un exemple, pas à pas
On veut retrouver la valeur décimale et l'écriture binaire de FF en base 16. Les deux chiffres sont identiques, mais leur position leur donne un poids différent.
Données.
F vaut 15.
Le F de gauche occupe la position des paquets de 16.
Le F de droite occupe la position des unités.
Un F correspond au groupe binaire 1111.
F vaut 15.
Le F de gauche occupe la position des paquets de 16.
Le F de droite occupe la position des unités.
Un F correspond au groupe binaire 1111.
1. Le F de gauche contribue pour 15 × 16 = 240.
2. Le F de droite contribue pour 15 × 1 = 15.
3. Leur somme vaut 240 + 15 = 255.
2. Le F de droite contribue pour 15 × 1 = 15.
3. Leur somme vaut 240 + 15 = 255.
4. Pour l'écriture binaire, chaque F est remplacé par 1111. Les deux groupes accolés donnent 11111111. Le schéma matérialise à la fois les poids 16 et 1 et les deux groupes de quatre bits.
Le résultat est donc FF16 = 25510 = 111111112. Pour le contrôler en binaire, on additionne les poids des huit bits égaux à 1 : 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255.
En pratique
Pour relire une longue suite binaire, on peut la découper en groupes de quatre bits à partir de la droite, puis remplacer chaque groupe par un chiffre hexadécimal. Le critère est visuel : l'hexadécimal est préférable quand la suite binaire devient difficile à parcourir.
Pour vérifier une valeur ou effectuer un calcul familier, on peut revenir au décimal en multipliant chaque chiffre par son poids. Avec FF, les contributions 15 × 16 et 15 × 1 donnent 255.
Le binaire reste le meilleur choix lorsqu'il faut voir chaque bit séparément. L'hexadécimal convient lorsque l'on veut conserver une correspondance exacte avec ces bits tout en réduisant la longueur de l'écriture.
À ne pas confondre
Hexadécimal et binaire. Ce sont deux bases différentes, pas deux valeurs différentes. Le critère est l'alphabet employé : FF utilise des chiffres hexadécimaux, tandis que 11111111 n'utilise que 0 et 1. Dans l'exemple, les deux écritures représentent 255.
Chiffre et nombre hexadécimal. F est un seul chiffre, de valeur 15. FF est un nombre écrit avec deux chiffres : le premier F vaut quinze paquets de 16 et le second quinze unités. Le nombre vaut donc 255, et non 30.
Limites et pièges
Une écriture sans base peut être ambiguë. Le symbole 10 vaut dix en base 10, mais seize en base 16. Le basculement se produit après le chiffre F : on écrit alors 1016. Pour lever le doute, il faut indiquer la base ou expliciter le contexte.
Le découpage binaire se fait par groupes de quatre. Si le nombre de bits n'est pas un multiple de quatre, le groupe de gauche est incomplet. On ajoute alors des zéros à gauche : 11111111 devient 1111 1111, tandis que 111 devient 0111. Ces zéros initiaux ne changent pas la valeur.
La lettre F est un chiffre, pas une variable. Dans une écriture hexadécimale, elle a la valeur fixe 15. Si une expression algébrique emploie aussi la lettre F, il faut préciser le rôle de chaque symbole avant de calculer.
Pour aller plus loin
écriture binaire. Pour approfondir l'écriture composée de 0 et de 1 que l'hexadécimal regroupe quatre bits par quatre.
Octal. Pour comparer l'hexadécimal à un autre système de numération et mieux distinguer le rôle d'une base.
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