chiffre - arithmétique -

Sur une étiquette, 13 s'écrit avec les deux signes 1 et 3. Ces signes sont des chiffres ; 13 est le nombre qu'ils écrivent. Comme les lettres composent des mots, les chiffres composent des écritures de nombres.

La collection disponible dépend du système choisi. L'écriture décimale emploie dix chiffres, de 0 à 9. En binaire, les deux seuls chiffres sont 0 et 1. Le même nombre peut donc changer d'écriture sans changer de valeur.

En arithmétique, un chiffre est un signe graphique élémentaire servant à écrire les nombres dans un système de numération. Il appartient donc à un alphabet de symboles déterminé par ce système. Les chiffres arabes, romains ou brahmi relèvent de collections différentes. Un chiffre est le signe écrit ; un nombre est l'objet mathématique représenté. Un même nombre peut recevoir plusieurs écritures, comme 13 en décimal et 1101 en binaire.

Dans un système de numération de position, la place d'un chiffre contribue à sa valeur. Dans les écritures positionnelles canoniques usuelles, la base fixe le nombre de chiffres disponibles : la base 2 utilise 0 et 1 ; la base 10 utilise 0 à 9 ; la base 16 utilise 0 à 9 puis A à F. Plus généralement, la base fixe les poids de position, mais l'alphabet de chiffres peut être plus large ou comporter des chiffres signés. Cette règle ne doit pas être appliquée sans précaution à une écriture comme les chiffres romains.

Le mot possède aussi deux usages distincts. Dans la langue économique ou journalistique, « chiffre » remplace souvent « nombre », notamment dans « chiffre de population » ou « chiffre d'affaires ». En cryptologie, un chiffre est un ensemble de procédés et de symboles qui transforme un message en clair en cryptogramme. Il agit sur des unités élémentaires, telles que des lettres ou des bits.

Prenons le nombre treize. Les données sont les suivantes : la base décimale vaut 10 ; la base binaire vaut 2 ; la base hexadécimale vaut 16. Nous allons vérifier trois écritures du même nombre.

1. En décimal, l'écriture 13 contient le chiffre 1 à la place des dizaines et le chiffre 3 à la place des unités. Sa décomposition est :

2. En binaire, l'écriture 1101 emploie seulement 0 et 1. En partant de la droite, ses positions valent 1, 2, 4 et 8. Le contrôle donne :

3. En hexadécimal, les valeurs de dix à quinze sont notées A à F. La valeur treize est donc écrite avec le seul chiffre D. Les écritures 13, 1101 et D ont des chiffres différents, mais elles représentent toutes exactement le même nombre, treize. Les deux décompositions permettent de refaire le contrôle.

Pour lire une écriture numérique, on repère d'abord le système employé. Si seuls 0 et 1 apparaissent et que le contexte est informatique, l'écriture binaire est à envisager plutôt que la décimale ; la base doit toutefois être donnée pour lever toute ambiguïté.

Pour compter les signes d'une écriture, on parle de chiffres. L'écriture décimale 13 compte deux chiffres, l'écriture binaire 1101 en compte quatre et l'écriture hexadécimale D un seul. Pour parler de la valeur commune, on emploie « nombre ».

Face à un texte de cryptologie, le contexte change le sens du mot. Si un procédé transforme les lettres ou les bits d'un message clair en cryptogramme, « chiffre » ne désigne plus un symbole numérique, mais un procédé de chiffrement.

Chiffre et nombre. Un chiffre est un symbole disponible dans un système d'écriture ; un nombre est une valeur mathématique. Dans 13, 1 et 3 sont des chiffres, tandis que treize est le nombre représenté. Le critère consiste à demander si l'on désigne un signe ou une valeur.

Chiffre et code en cryptologie. Un chiffre est un procédé de chiffrement qui transforme des données, souvent au moyen d'une clé. Un code établit des correspondances conventionnelles entre des signes ou groupes de signes et des informations. L'un comme l'autre peut porter sur des unités de tailles variées : leur taille ne suffit donc pas à trancher entre les deux notions.

Le contexte ne précise pas la base. Une suite comme 1101 peut être lue en binaire ou en décimal. Le symptôme est l'absence de mention du système de numération. Il faut alors indiquer la base avant d'attribuer une valeur à l'écriture.

La position n'a pas toujours le même rôle. Dans les écritures positionnelles canoniques usuelles, le nombre de symboles distincts est égal à la base, mais cette égalité ne caractérise pas tous les systèmes positionnels. Les chiffres romains ne se lisent pas comme des chiffres décimaux placés dans des colonnes de puissances de dix ; il faut appliquer les règles de leur propre système.

Le zéro initial ne crée pas un nouveau nombre. En écriture décimale usuelle, 013 et 13 représentent la même valeur, bien que la première écriture compte trois chiffres. Il faut distinguer la longueur de l'écriture de la valeur représentée.

L'usage courant relâche la distinction. Des expressions comme « chiffre de population » ou « chiffre d'affaires » utilisent « chiffre » pour une quantité entière. En raisonnement arithmétique, il faut revenir à « nombre » pour la valeur et réserver « chiffre » au signe.

L'écriture binaire montre comment les seuls chiffres 0 et 1 suffisent à représenter les nombres dans un système positionnel de base 2.

La numération vigésimale prolonge la comparaison des systèmes en étudiant une numération organisée autour de la base 20.

La cryptographie développe l'autre sens technique du mot « chiffre » : la transformation d'un message clair et l'étude des procédés de chiffrement.