base de numération

Sur un compteur décimal, la roue des unités revient à 0 après 9 et fait avancer la roue suivante. Une base de numération fixe précisément le nombre de symboles disponibles avant ce passage à la position voisine.

Avec dix symboles, nous écrivons couramment 45. Avec seulement 0 et 1, le même nombre s'écrit 101101. Ce ne sont pas deux nombres différents : ce sont deux écritures du même nombre, fondées sur des paquets de dix ou de deux.

Dans un système positionnel, une base entière notée b, avec b au moins égal à 2, fournit b valeurs de chiffres, de 0 à b − 1. Chaque position correspond à une puissance de la base : unités, paquets de b, paquets de b², et ainsi de suite. La valeur d'une écriture est la somme de chaque valeur de chiffre multipliée par la puissance associée à sa position.

En base 10, les symboles 0 à 9 représentent les dix valeurs possibles d'un chiffre. En base 2, seuls 0 et 1 sont admis. En base 16, les lettres A, B, C, D, E et F complètent les chiffres usuels et représentent respectivement les valeurs dix à quinze. Ainsi, le symbole D ne change pas de valeur selon sa position, mais sa contribution est multipliée par la puissance de 16 correspondant à cette position.

Pour lever toute ambiguïté, un indice peut annoncer la base : 101101₂, 45₁₀ et 2D₁₆ représentent le même nombre. Le choix des symboles est une convention d'écriture ; le principe positionnel repose, lui, sur leur valeur et leur place.

On veut écrire le nombre quarante-cinq en binaire et en hexadécimal. Les données sont le nombre 45, la base 2 avec les chiffres 0 et 1, et la base 16 avec les valeurs 0 à 15, notées 0 à 9 puis A à F.

1. En base 2, on décompose 45 en puissances de 2 : 45 = 32 + 8 + 4 + 1.

2. Les coefficients des puissances 32, 16, 8, 4, 2 et 1 sont 1, 0, 1, 1, 0 et 1. On obtient donc 101101₂.

3. En base 16, on partage 45 en un multiple de 16 et un reste : 45 = 2 × 16 + 13. La valeur 13 est représentée par D, d'où 2D₁₆.

Le résultat est 45₁₀ = 101101₂ = 2D₁₆. Pour contrôler, on relit chaque position : 32 + 8 + 4 + 1 = 45 et 2 × 16 + 13 = 45.

Pour compter et calculer à la main, l'écriture décimale est généralement choisie parce que ses dix chiffres sont ceux de l'usage courant. Une écriture binaire devient préférable lorsque le support ne distingue que deux états, représentés par 0 et 1.

Pour condenser une longue suite binaire, l'hexadécimal offre une écriture plus courte. Chaque groupe de quatre chiffres binaires prend une valeur de 0 à 15, donc un seul chiffre hexadécimal. Le critère utile est ici la lisibilité de l'écriture.

Lorsqu'une suite comme 101 ou 2D peut être lue dans plusieurs systèmes, on ajoute l'indice de base. Ce geste évite d'attribuer au même texte une valeur décimale, binaire ou hexadécimale par simple habitude.

Un chiffre et un nombre. Un chiffre est un symbole placé dans une écriture ; un nombre est la valeur représentée. Dans 45₁₀, 4 et 5 sont des chiffres, tandis que quarante-cinq est le nombre.

La base et l'écriture obtenue. La base fixe les valeurs de chiffres disponibles et le poids des positions ; elle n'est pas le nombre représenté. Ainsi, 2 est la base de 101101₂, mais cette écriture représente quarante-cinq.

Une suite sans base peut être ambiguë. 101 vaut cent-un en base 10, mais cinq en base 2. Si le contexte ne fixe pas le système, il faut écrire 101₁₀ ou 101₂.

Tous les symboles ne sont pas permis dans toutes les bases. En base 2, le chiffre 2 est déjà hors de l'ensemble autorisé. Il faut convertir la valeur ou corriger l'écriture, et non lire 102 comme un nombre binaire valide.

Les lettres hexadécimales portent une valeur numérique. Dans 2D₁₆, D vaut treize ; il ne s'agit ni d'une variable ni d'une unité. La table A = 10 jusqu'à F = 15 permet de lever ce piège.

Les zéros initiaux ne changent pas la valeur. 00101101₂ et 101101₂ valent tous deux quarante-cinq. Pour contrôler la valeur, on associe les puissances de la base à partir du chiffre le plus à droite.

L'article La numération binaire pour représenter des données prolonge la conversion en montrant pourquoi deux symboles suffisent à coder des données.