AnalysePersonnage · Glossaire
arithmétique binaire de Leibniz
Système de numération créé par Gottfried Wilhelm Leibniz, utilisant uniquement les deux chiffres 0 et 1. Leibniz lui attribuait une signification mystique et philosophique : selon lui, "tout est créé à partir de l'unité 1 et du néant zéro". Ce système binaire constitue le fondement de l'informatique moderne, dans laquelle l’information représentée numériquement est encodée par des suites de 0 et de 1, interprétées selon une convention et un format précis.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les poids d’une écriture binaire positionnelle.
- Convertir treize en 1101 et contrôler le résultat.
- Séparer numération binaire et codage d’une information.
- Situer la lecture philosophique de Leibniz sans la confondre avec la règle de calcul.
En clair
Écrivons le nombre treize en n’utilisant que deux chiffres distincts : 0 et 1. En partant des puissances de deux 8, 4, 2 et 1, on garde 8, 4 et 1, mais pas 2. La suite 1101 note ce choix : 1 signifie « retenu » et 0 signifie « absent ».
Cette économie de signes est l’idée concrète du système binaire associé à Leibniz. Une longue suite de 0 et de 1 peut ainsi représenter des nombres et, avec des règles de codage, toute sorte d’informations.
Définition
L’arithmétique binaire de Leibniz est un système de numération en base deux : son alphabet numérique ne contient que les chiffres 0 et 1. Dans une écriture positionnelle, chaque rang vaut une puissance de deux. En partant de la droite, les poids sont donc 1, 2, 4, 8, puis ils doublent à chaque rang.
Pour un chiffre binaire noté bk au rang k, où bk vaut 0 ou 1 et où le rang droit est le rang 0, la valeur du mot binaire est :
Cette règle s’applique directement aux entiers non négatifs. Des conventions supplémentaires sont nécessaires pour coder un signe, une fraction, du texte ou une image. Leibniz associait aussi 1 à l’unité créatrice et 0 au néant ; cette lecture philosophique accompagne son système, mais ne change pas les règles de calcul.
Où on le rencontre
On rencontre des suites de 0 et de 1 dans une écriture comme 1101, dans des bits enregistrés ou transmis, et dans les états logiques manipulés par un ordinateur. Une telle suite relève de la numération binaire seulement lorsque son interprétation positionnelle est établie : seuls 0 et 1 apparaissent, leur ordre compte et les rangs ont des poids qui doublent de droite à gauche. Dans les autres cas, une convention et un format précisent ce qui est codé.
Le support porte donc une suite de choix à deux possibilités. Cette suite peut noter un entier par position, comme 1101 pour treize, ou représenter une autre information selon un code distinct.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est la valeur de l’entier représenté. 1. Fixez la convention : ici, une écriture binaire positionnelle d’un entier non négatif. 2. Numérotez les rangs depuis 0, en partant de la droite. 3. Associez aux rangs les poids 1, 2, 4, 8, etc. 4. Additionnez seulement les poids placés sous un chiffre 1.
L’œil peut lire 1101 comme « mille cent un », car il applique spontanément la base dix. Le bon réflexe consiste à chercher l’indication de base ou le contexte, puis à refaire la somme des puissances de deux. La figure des poids rend cette lecture vérifiable pour l’exemple 11012.
Un exemple, pas à pas
On veut écrire treize en binaire. Données : l’entier de départ vaut 13 en base dix ; les poids binaires disponibles jusqu’à 13 sont 8, 4, 2 et 1.
1. Le plus grand poids qui ne dépasse pas 13 est 8. On écrit 1 à ce rang et il reste 13 − 8 = 5.
2. Le poids suivant est 4. On écrit 1 et il reste 5 − 4 = 1.
3. Le poids 2 dépasse le reste 1 : on écrit 0. Le poids 1 épuise le reste : on écrit 1. Les quatre chiffres obtenus sont 1101.
Le résultat est . Le contrôle refaisable consiste à revenir en base dix : .
En pratique
Pour convertir un petit entier, on décompose sa valeur en puissances de deux. Cette méthode est préférable à une lecture visuelle dès que plusieurs rangs apparaissent, car chaque 0 conserve explicitement la place d’un poids absent.
Dans un ordinateur, une suite de bits n’est interprétable qu’avec son format. On vérifie donc d’abord si elle code un entier, un caractère ou une autre donnée ; la conversion positionnelle seule convient seulement au cas numérique prévu.
Pour contrôler 11012, on additionne 8, 4 et 1. Une conversion automatique devient utile pour des suites longues, mais la somme manuelle reste un contrôle transparent sur cet exemple.
À ne pas confondre
Écriture binaire et valeur décimale. Les symboles visibles ne suffisent pas : 11012 vaut treize, tandis que 110110 vaut mille cent un. L’indice de base ou le contexte tranche.
Numération binaire et codage binaire. La première attribue aux rangs des puissances de deux pour noter un nombre. Le second associe une suite de bits à une information selon un format. Ainsi, 1101 peut noter treize ou n’être qu’un fragment de données.
Limites et pièges
Zéros initiaux. Pour un entier non négatif, 011012 et 11012 ont la même valeur, treize. Dans un format de longueur fixée, le nombre de bits peut toutefois faire partie de la convention ; il ne faut alors pas supprimer un zéro sans vérifier le format.
Signe et fractions. La somme des poids 1, 2, 4, 8 suffit pour les entiers non négatifs. Un signe ou une partie fractionnaire exige d’annoncer une convention supplémentaire avant toute lecture.
Bits et réalités physiques. Les chiffres 0 et 1 sont des symboles. La manière de les matérialiser ou de les transmettre dépend du dispositif ; il faut connaître la règle d’association au lieu de supposer que 1 signifie toujours « allumé ».
Pour aller plus loin
Comparer la base deux à une autre numération positionnelle fait apparaître ce qui change : les chiffres disponibles et les poids des rangs. La numération vigésimale montre le même principe avec des puissances de vingt.
On peut ensuite étudier séparément les opérations binaires et les conventions de codage. Cette distinction relie l’idée arithmétique de Leibniz à l’encodage informatique sans confondre un nombre avec l’information qu’une suite de bits représente.
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