virgule flottante

Une calculatrice doit garder en mémoire aussi bien 13,25 qu’un nombre immense ou minuscule. Au lieu de réserver une longue suite de chiffres à chaque valeur, elle mémorise des chiffres significatifs et indique de combien de rangs déplacer la virgule. Pour 13,25, l’écriture binaire 1,10101 × 2³ joue le même rôle que la notation scientifique décimale.

Cette virgule « flotte » avec l’exposant. La plage de valeurs devient très large, mais le nombre de chiffres conservés reste limité : certains résultats sont donc arrondis.

Une représentation en virgule flottante code un nombre par un signe, une significande — aussi appelée mantisse — et un exposant. La base, notée b, fixe les chiffres disponibles. Le bit de signe, noté s, vaut 0 pour un nombre positif et 1 pour un nombre négatif. La significande, notée m, porte les chiffres utiles. L’exposant, noté e, règle l’échelle. Leur relation s’écrit : $(-1{)}^s\times m\times b^e(-1)^s\; \backslash times\; m\; \backslash times\; b^e$.

Dans la convention normalisée utilisée ici, la virgule est placée immédiatement après le premier chiffre non nul : pour une valeur non nulle, la significande est au moins égale à 1 et strictement inférieure à b, le signe étant codé séparément. Cette convention rend l’écriture unique à base et précision fixées, hors représentations spéciales comme zéro et les nombres sous-normaux. La base 2 est courante dans les processeurs ; des représentations en bases 8 ou 16 décrivent aussi le déplacement de la virgule, et des formats décimaux existent.

Avec un nombre fixé de chiffres significatifs, l’espacement entre valeurs représentables grandit avec leur ordre de grandeur. La précision est donc relative plutôt qu’absolue, sauf aux limites du format. Ce principe structure le calcul numérique des processeurs et des langages modernes, sans coder exactement tous les nombres réels.

On veut représenter exactement 13,25 en base 2. Les données sont le signe positif, la partie entière 13 et la partie fractionnaire 0,25. La base choisie est 2.

1. La partie entière 13 s’écrit 1101 en binaire.
2. La fraction 0,25 vaut un quart, donc 0,01 en binaire.
3. La réunion des deux parties donne 1101,01₂.
4. On déplace la virgule de trois rangs vers la gauche : ${\mathrm{1101,01}}_2={\mathrm{1,10101}}_2\times 2^{3}1101\{,\}01\_2\; =\; 1\{,\}10101\_2\; \backslash times\; 2^3$. Le signe vaut 0, la significande vaut 1,10101₂ et l’exposant vaut 3.

Le contrôle reconstruit la significande : 1 + 1/2 + 1/8 + 1/32 = 1,65625. Puis 1,65625 × 8 = 13,25 exactement. La décomposition binaire montre ainsi comment l’exposant déplace la virgule sans changer la valeur.

Pour un calcul scientifique mêlant des valeurs très grandes et très petites, la virgule flottante évite de fixer à l’avance la position de la virgule. Une représentation à virgule fixe convient mieux si toutes les valeurs partagent une plage étroite et un pas absolu constant.

Pour des montants exigeant des centimes exacts, on préfère souvent compter des unités entières minimales ou employer un format décimal. Le critère est observable : aucune fraction monétaire autorisée ne doit être altérée par un arrondi binaire.

Après plusieurs opérations approchées, comparer un résultat flottant à une valeur par égalité stricte peut échouer. On contrôle plutôt si leur écart reste inférieur à une tolérance choisie selon l’échelle et le besoin du calcul.

Virgule fixe. La position de la virgule y est imposée une fois pour toutes, tandis qu’un nombre flottant stocke un exposant. À précision comparable, vérifiez l’espacement : il reste constant en virgule fixe et change avec l’échelle en virgule flottante.

Notation scientifique. Elle organise une écriture mathématique, par exemple 1,325 × 10¹. Un format flottant ajoute des contraintes de stockage, de précision et d’exposant. Une écriture scientifique exacte peut donc ne pas être représentable exactement par un format donné.

Nombre réel. Le réel est l’objet mathématique idéal ; sa représentation flottante est un code fini. Le cas 13,25 est exact en base 2, mais ce constat ne garantit pas que tout réel ni même tout décimal possède un codage fini.

Décimal non fini en binaire. Le nombre 0,1 possède un développement binaire infini. Son stockage avec une précision finie produit un arrondi, visible lorsque des opérations accumulent un petit écart. Il faut alors comparer avec une tolérance ou choisir un format décimal adapté.

Précision insuffisante. Dans la représentation binaire normalisée de 13,25, la significande est 1,10101₂ : elle compte six chiffres binaires en incluant le premier 1. Un format binaire à significande de précision finie qui en conserve moins doit arrondir cette valeur. Il faut choisir la précision d’après l’erreur acceptable, pas seulement d’après la taille maximale visée.

Extrémités de la plage. Un exposant fini ne couvre pas toutes les grandeurs. Une valeur trop grande déborde le domaine des valeurs finies ; une valeur trop proche de zéro perd la précision relative habituelle. Il faut détecter ces situations ou changer d’échelle et de format.

Normalisation prise pour une règle universelle. Le premier chiffre non nul caractérise les nombres normalisés, pas toutes les représentations. Zéro et les nombres sous-normaux sont des cas internes au format. Il faut examiner la catégorie de la valeur avant d’appliquer cette règle.

La suite naturelle consiste à étudier l’espacement entre deux valeurs flottantes consécutives. Cet espacement dépend de l’exposant : il éclaire la propagation des arrondis, le choix d’une tolérance et la stabilité d’un algorithme numérique.

On peut ensuite comparer les formats binaires et décimaux à précision fixée. La bonne représentation dépend des fractions à préserver exactement, de la plage nécessaire et des opérations réellement effectuées.