AnalyseNotion · Glossaire
Caractéristique d'un logarithme
Dans la notation décimale d'un logarithme décimal, la caractéristique est la partie entière du logarithme. Pour log₁₀(x), si le résultat vaut par exemple 2.3456, la caractéristique est 2 et la mantisse est 0.3456. La caractéristique de log₁₀(x) est égale à l'exposant de la puissance de 10 dans la décomposition de x : si 10ⁿ ≤ x < 10ⁿ⁺¹, la caractéristique est n. Cette décomposition était utile pour les calculs avec les tables de logarithmes avant l'ère des calculatrices.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la caractéristique par un encadrement entre deux puissances de 10.
- Décomposer un logarithme décimal en caractéristique et mantisse.
- Traiter correctement les nombres compris entre 0 et 1 et les puissances de 10.
En clair
Prenons le nombre 250. Il se situe entre 100 et 1 000, c’est-à-dire entre 102 et 103. Le logarithme décimal de 250 se situe donc entre 2 et 3. Sa caractéristique est 2 : elle repère la tranche de puissances de 10 qui contient le nombre.
Les chiffres après cette partie entière forment la mantisse. Ils précisent la position de 250 à l’intérieur de la tranche allant de 100 à 1 000.
Définition
Le logarithme décimal s’applique ici à un nombre réel strictement positif, noté x. La caractéristique est l’unique entier, noté n, tel que . De façon équivalente, n est le plancher du logarithme décimal de x : . Cet entier fixe ainsi l’ordre de grandeur décimal de x.
Le logarithme se décompose alors en une caractéristique entière et une mantisse, notée m : . Pour 250, la caractéristique vaut 2 et la mantisse vaut environ 0,39794. Pour une puissance exacte de 10, la mantisse vaut 0. Cette convention, particulièrement adaptée aux anciennes tables de logarithmes, garde toujours la mantisse entre 0 inclus et 1 exclu, même lorsque le logarithme est négatif.
Un exemple, pas à pas
On cherche la caractéristique et la mantisse du logarithme décimal de 250.
Données : le nombre est 250 ; les puissances de 10 voisines sont 102 = 100 et 103 = 1 000.
Données : le nombre est 250 ; les puissances de 10 voisines sont 102 = 100 et 103 = 1 000.
1. Encadrer le nombre : . L’entier de l’exposant inférieur est 2.
2. Écrire 250 sous la forme 2,5 × 102. La règle du logarithme d’un produit donne .
3. Calculer la partie restante : le logarithme décimal de 2,5 vaut environ 0,3979400087. Ainsi, le logarithme décimal de 250 vaut environ 2,3979400087.
La caractéristique est 2 et la mantisse est environ 0,3979400087. Le contrôle est direct : 250 appartient bien à l’intervalle allant de 102 inclus à 103 exclu.
Une représentation sur une décade logarithmique permet de voir simultanément l’encadrement par 100 et 1 000, ainsi que la position de 250 déterminée par sa mantisse.
En pratique
Pour repérer rapidement un ordre de grandeur, on encadre le nombre entre deux puissances de 10 consécutives. Pour 250, l’encadrement entre 100 et 1 000 donne aussitôt la caractéristique 2. Si seule une estimation grossière est recherchée, l’écriture scientifique suffit souvent.
Pour anticiper un déplacement de la virgule, multiplier un nombre positif par 10 augmente sa caractéristique de 1 sans changer sa mantisse. Une calculatrice est préférable lorsque la valeur décimale précise du logarithme est nécessaire.
Dans une table de logarithmes, on cherchait surtout la mantisse associée aux chiffres significatifs. La caractéristique, obtenue par la position de la virgule, replaçait ensuite le résultat dans la bonne puissance de 10.
À ne pas confondre
Caractéristique et mantisse. La caractéristique est entière ; la mantisse appartient à l’intervalle allant de 0 inclus à 1 exclu. Pour le logarithme décimal de 250, elles valent respectivement 2 et environ 0,39794.
Caractéristique et coefficient de l’écriture scientifique. Dans 250 = 2,5 × 102, l’exposant 2 coïncide avec la caractéristique, mais le coefficient 2,5 n’est pas la mantisse. La mantisse est le logarithme décimal de 2,5, soit environ 0,39794.
Limites et pièges
Nombre nul ou négatif. Dans les nombres réels, le logarithme décimal n’est défini que pour un nombre strictement positif. Si x est nul ou négatif, aucune caractéristique réelle ne peut être attribuée.
Logarithme négatif. La « partie entière » signifie ici le plancher, et non la troncature vers zéro. Comme 0,025 se situe entre 10−2 et 10−1, sa caractéristique est −2, tandis que son logarithme vaut environ −1,60206.
Puissance de 10 au seuil. La borne inférieure est incluse et la borne supérieure est exclue. Ainsi, 1 000 a pour caractéristique 3, car 1 000 = 103 ; il n’appartient plus à la tranche de caractéristique 2.
Arrondi près d’un seuil. Un affichage arrondi peut donner 3,0000 pour le logarithme d’un nombre légèrement inférieur à 1 000. Pour fixer la caractéristique, il faut alors encadrer le nombre lui-même entre les puissances de 10 plutôt que lire l’arrondi.
Pour aller plus loin
La fiche Mantisse approfondit la partie fractionnaire du logarithme et son rôle dans la décomposition.
La fiche fonction logarithme décimal replace caractéristique et mantisse dans le fonctionnement global de la fonction en base 10.
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