ArithmétiqueNotion · Glossaire
Mantisse
Pour 125, l’écriture scientifique 125 = 1,25 × 102 donne le coefficient 1,25, parfois appelé mantisse ou significande. Cette valeur diffère de la mantisse logarithmique : log10(125) vaut environ 2,09691, dont la partie fractionnaire est environ 0,09691. En virgule flottante binaire, mantisse désigne aussi la significande 1,1111012 de 125. Le contexte indique donc laquelle de ces trois valeurs est recherchée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le coefficient scientifique de la mantisse logarithmique.
- Relier ces deux valeurs par la relation m = 10ʳ.
- Décomposer 125 en écriture scientifique décimale et binaire.
- Identifier le rôle de la significande dans la précision d’une représentation flottante.
- Reconnaître les cas particuliers du zéro, des nombres négatifs et des nombres subnormaux.
En clair
Écrivons 125 sous la forme 1,25 × 100. Le facteur 1,25 porte les chiffres significatifs, tandis que 100 indique leur ordre de grandeur. Ce facteur est souvent appelé mantisse dans l’écriture scientifique, et significande en informatique.
Le même mot possède un autre sens avec les logarithmes : log10(125) vaut environ 2,09691, et sa partie fractionnaire 0,09691 est traditionnellement nommée mantisse. Les deux valeurs 1,25 et 0,09691 ne sont pas égales, mais elles codent les mêmes chiffres significatifs de deux façons reliées.
Définition
Pour un nombre réel positif nommé x, l’écriture scientifique décimale s’écrit . Le coefficient m vérifie , et l’exposant n est un entier. Cette normalisation rend m et n uniques. Le coefficient m, qui rassemble les chiffres significatifs, est parfois appelé mantisse ; le terme significande évite une ambiguïté historique.
Dans le vocabulaire des logarithmes décimaux, on décompose , où l’entier n est la caractéristique et où le réel r vérifie . C’est r, la partie fractionnaire du logarithme, que l’on nomme mantisse logarithmique. Les deux sens ne désignent donc pas la même valeur : ils sont reliés par .
En virgule flottante binaire, un nombre non nul normalisé s’exprime à l’aide d’un signe s, d’un exposant e et d’une significande de la forme 1,f : . Le nombre de bits disponibles pour cette significande fixe la précision de la représentation ; sa valeur numérique ne la fixe pas à elle seule. Le zéro et les nombres subnormaux constituent des cas particuliers.
Un exemple, pas à pas
On prend le nombre positif x = 125. Les données sont la base décimale 10, la base binaire 2 et la valeur exacte 125. On cherche le coefficient scientifique, la mantisse logarithmique et la significande binaire correspondants.
1. Comme , l’exposant de l’écriture scientifique décimale est 2.
2. Diviser 125 par 102 donne exactement 1,25. Ainsi, : le coefficient, ou significande décimale, vaut 1,25.
3. Le logarithme décimal vaut . Sa caractéristique est 2 et sa mantisse logarithmique vaut environ 0,096910013. En sens inverse, .
4. En base 2, 125 s’écrit exactement 11111012. En déplaçant la virgule de six rangs, on obtient . La significande binaire est donc 1,1111012.
Le contrôle décimal redonne exactement 1,25 × 100 = 125. Le contrôle binaire additionne les poids 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 et 1/64, soit 1,953125, puis multiplie par 64 : on retrouve 125. Le schéma réunit les deux mantisses décimales sans les confondre.
En pratique
Pour comparer rapidement des ordres de grandeur, on normalise d’abord le nombre en écriture scientifique. Le coefficient 1,25 et l’exposant 2 rendent immédiatement lisibles les chiffres significatifs et l’échelle de 125. L’écriture décimale ordinaire reste préférable lorsque cette séparation n’apporte rien au calcul.
Pour travailler avec un logarithme décimal, on sépare sa partie entière de sa partie fractionnaire. Dans log10(125) ≈ 2,09691, la caractéristique 2 indique l’ordre de grandeur, tandis que la mantisse logarithmique 0,09691 permet de retrouver le coefficient par une puissance de 10.
Pour juger une représentation en virgule flottante, on regarde le nombre de bits réservés à la significande. Davantage de bits permettent de conserver davantage de chiffres binaires ; une représentation entière ou décimale exacte est préférable lorsqu’aucun arrondi n’est acceptable.
À ne pas confondre
Coefficient scientifique et mantisse logarithmique. Pour 125, le coefficient de 1,25 × 102 vaut 1,25, tandis que la partie fractionnaire de log10(125) vaut environ 0,09691. Le test consiste à regarder si l’on décompose le nombre ou son logarithme.
Mantisse et exposant. La mantisse ou significande porte les chiffres significatifs ; l’exposant place leur ordre de grandeur. Ainsi, 1,25 reste le même coefficient dans 1,25 × 102, mais remplacer l’exposant 2 par 3 donne 1 250 au lieu de 125.
Partie fractionnaire et chiffres après la virgule. La partie fractionnaire d’un réel y est y moins sa partie entière inférieure. Pour y = 2,09691, elle vaut 0,09691 ; pour y = −1,2, elle vaut 0,8 avec cette définition, et non −0,2.
Limites et pièges
Zéro. Le logarithme décimal réel de 0 n’existe pas, et zéro n’a pas de significande normalisée de la forme 1,f. Si x = 0, il faut utiliser la représentation spéciale du zéro plutôt que les décompositions définies pour x > 0.
Nombre négatif. Le logarithme décimal réel d’un nombre négatif n’est pas défini. Pour une écriture scientifique réelle, on sépare le signe et on normalise la valeur absolue ; par exemple −125 = −1,25 × 102.
Nombres binaires subnormaux. Une significande de la forme 1,f décrit les nombres non nuls normalisés. À proximité de zéro, une représentation subnormale ne possède pas ce 1 initial implicite. Il faut alors appliquer la convention propre au format utilisé.
Précision mal attribuée. Deux significandes de valeurs différentes, stockées avec le même nombre de bits, offrent la même capacité de précision. Pour évaluer l’arrondi, il faut examiner la largeur de la significande et le format, non la seule valeur appelée mantisse.
Pour aller plus loin
fonction logarithme décimal — Approfondir la décomposition d’un logarithme en caractéristique entière et partie fractionnaire.
Partie fractionnaire — Préciser l’opération qui extrait la mantisse logarithmique d’un logarithme décimal.
virgule flottante — Situer la significande parmi le signe, l’exposant et les cas spéciaux d’une représentation binaire.
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