numération babylonienne

Imaginez deux groupes de marques sur une tablette. Dans le groupe de droite, vingt-cinq vaut vingt-cinq unités. Le même signe placé un rang à gauche ne vaut plus une unité, mais soixante unités.

La numération babylonienne fonctionne donc comme notre écriture décimale, mais chaque déplacement vers la gauche multiplie la valeur par 60 au lieu de 10. Deux signes cunéiformes de base suffisent à composer les quantités de 1 à 59 : l'un figure l'unité, l'autre la dizaine.

La numération babylonienne est un système de numération positionnel sexagésimal, c'est-à-dire en base 60, développé en Mésopotamie. La source situe son emploi de 5000 avant J.-C. à la chute de Babylone en 539 avant J.-C. Deux signes cunéiformes de base représentent l'unité et la dizaine. Par répétition et combinaison, ils forment les valeurs d'un même rang ; la position de ce groupe fixe ensuite sa puissance de 60.

Dans une écriture telle que (1 ; 25)₆₀, l'indice 60 indique la base. Le groupe 1 occupe le rang des soixantaines et le groupe 25 celui des unités. Sa valeur est donc $1\times 60+25=851\backslash times\; 60+25=85$. Le système décrit par la source ne possède pas de symbole pour le zéro : une position vide peut alors rendre la lecture ambiguë si le contexte ne fixe pas les rangs.

Les calculs s'appuient sur des tables. Les multiplications utilisent des produits tabulés ; les divisions passent par des tables de réciproques, car diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. La richesse des diviseurs de 60 favorise l'écriture des fractions. Elle facilite notamment les inverses des nombres de la forme $2^p\times 3^q\times 5^{m}2^p\backslash times\; 3^q\backslash times\; 5^m$, où les lettres p, q et m désignent des exposants entiers positifs ou nuls. Les méthodes de factorisation servent à ramener les calculs à ces facteurs fondamentaux.

Une écriture comporte deux groupes, notés (1 ; 25)₆₀. Les données sont le chiffre 1 au rang de gauche, le nombre 25 au rang de droite et la base 60. On cherche la valeur correspondante dans notre écriture décimale.

1. Identifier les rangs. Le groupe de droite représente les unités. Le rang immédiatement à gauche représente des groupes de 60 unités.

2. Donner sa valeur à chaque groupe. Le 1 de gauche vaut 1 × 60 = 60. Le groupe de droite vaut 25 × 1 = 25. Le schéma des deux rangs rend visible cette décomposition.

3. Additionner les contributions. Le calcul complet est $1\times 60+25\times 1=851\backslash times\; 60+25\backslash times\; 1=85$.

Le résultat est donc 85 unités. Pour le contrôler, la division de 85 par 60 donne un quotient 1 et un reste 25. Elle reconstitue exactement les deux groupes (1 ; 25)₆₀.

Pour lire une écriture babylonienne, on sépare d'abord les groupes de signes. On attribue ensuite à chaque groupe son rang, puis on multiplie de droite à gauche par 1, 60, 60², etc. Pour (1 ; 25)₆₀, ce geste donne 60 + 25.

Pour multiplier, les tables de produits évitent de recommencer chaque calcul. La factorisation devient utile quand elle ramène un nombre à des facteurs connus dans les tables. Un calcul direct reste préférable lorsque les nombres sont assez petits pour être composés immédiatement.

Pour diviser, on cherche le réciproque du diviseur, puis on effectue une multiplication. Cette voie est particulièrement adaptée lorsque le diviseur ne comporte que des facteurs 2, 3 et 5, ceux qui divisent une puissance de 60. Sinon, le développement sexagésimal ne s'arrête pas et demande une approximation.

Un système additif pur. Dans un système additif, déplacer un signe ne change pas sa valeur. Dans la numération babylonienne positionnelle, le rang la multiplie par 60 : le 1 de (1 ; 25)₆₀ vaut 60, et non 1.

L'écriture décimale. Les deux systèmes utilisent la position, mais leur facteur de changement de rang diffère. Le nombre écrit 125 en base 10 vaut cent vingt-cinq, tandis que les groupes (1 ; 25)₆₀ valent quatre-vingt-cinq.

Une position vide. Sans symbole pour le zéro, un espace peut signaler un rang absent ou une simple séparation. Le symptôme est qu'une même suite de signes admet plusieurs valeurs. Il faut alors déterminer les rangs grâce au contexte avant de calculer.

Le passage de 59 à 60. Un groupe ne porte que les valeurs de 1 à 59. À 60, il faut ouvrir un nouveau rang : on écrit conceptuellement (1 ; 0)₆₀, même si le système décrit ne dispose pas d'un chiffre zéro pour marquer ce second rang.

Une écriture sans virgule sexagésimale explicite. Une suite peut représenter des unités ou des fractions selon l'ordre de grandeur attendu. Une fois le rang des unités fixé, les rangs à droite valent 1/60, puis 1/60². Il faut fixer cette convention avant toute conversion.

Un réciproque non fini. Si le diviseur possède un facteur premier autre que 2, 3 ou 5, son inverse n'a pas d'écriture sexagésimale finie. Une table finie fournit alors une approximation, qui doit être signalée comme telle plutôt que présentée par une égalité exacte.

Le zéro séleucide prolonge la question laissée ouverte par une numération sans symbole pour le zéro : comment rendre une position vide lisible sans ambiguïté ?