mathématiques babyloniennes

Imaginez une tablette d'argile où des signes notent des nombres et la solution d'un problème. Au lieu de regrouper les quantités par dizaines, le calcul babylonien change de position à chaque groupe de 60. C'est le principe de la numération sexagésimale.

Cette base rend commodes de nombreuses fractions, car 60 possède beaucoup de diviseurs. Des tables aident à multiplier et des tables de réciproques à diviser. La tablette conserve ainsi à la fois les nombres, les procédures et des problèmes résolus.

Les mathématiques babyloniennes sont l'ensemble des pratiques mathématiques attestées en Mésopotamie sur des tablettes d'argile cunéiformes. Elles sont documentées depuis la fin du IVe millénaire avant J.-C. jusqu'au Ier siècle après J.-C. Les documents retrouvés datent surtout de la première dynastie babylonienne, entre 1800 et 1500 avant J.-C. ; d'autres appartiennent aux périodes néo-babylonienne, achéménide, hellénistique et parthe.

Leur numération est positionnelle et sexagésimale : la valeur d'une écriture dépend de sa place parmi les puissances de 60. Elle sert à noter des entiers et des fractions. Les diviseurs de 60, notamment ceux formés avec les facteurs 2, 3 et 5, facilitent de nombreux calculs fractionnaires. Les multiplications s'appuient sur des tables de multiplication ; les divisions, sur des tables de réciproques. Un procédé de factorisation compte aussi parmi les algorithmes employés.

Les tablettes réunissent listes numériques, relations géométriques et problèmes résolus concernant surfaces, volumes ou salaires. Certaines séries enseignent la résolution d'équations du second degré. Leur vocabulaire peut être géométrique, tandis que des opérations comme soustraire une longueur d'une aire conduisent certains historiens à parler d'un raisonnement algébrique. L'absence d'un symbole dédié au zéro laisse enfin le contexte déterminer certaines valeurs. Vers 1000 avant J.-C., une partie des calculs se tourne vers l'astronomie.

Prenons une écriture sexagésimale moderne composée de deux positions : 1 dans la position des soixantaines et 15 dans celle des unités. Les données sont donc la base 60, le coefficient 1 et le coefficient 15. Cet exemple illustre le principe de position sans prétendre reproduire la forme des signes cunéiformes.

1. On associe à la première position une soixantaine.
2. On conserve 15 unités dans la seconde position.
3. On additionne les deux contributions.

Le calcul complet est : $1\times 60+15=751\backslash times\; 60+15=75$. La figure décompose exactement ces deux contributions avant leur addition.

Le résultat est donc 75 unités. Le même mécanisme s'étend aux positions fractionnaires : une position déplacée après les unités représente des soixantièmes, ce qui rend par exemple 30 soixantièmes égaux à une moitié.

Le contrôle se refait en sens inverse : 75 contient une fois 60, avec un reste de 15. On retrouve bien les deux coefficients de départ, 1 puis 15.

Pour lire une liste de nombres sur une tablette, on attribue à chaque position une puissance de 60. Dans l'exemple 1 puis 15, ce geste transforme les positions en une soixantaine et quinze unités.

Pour multiplier, les calculateurs s'appuient sur des tables de multiplication. Pour diviser, ils emploient plutôt une table de réciproques : le choix dépend donc de l'opération à effectuer.

Les procédures servent à traiter des problèmes de surfaces, de volumes ou de salaires. Des séries de solutions jouent aussi le rôle de manuels pour les équations du second degré, tandis que certains calculs se tournent vers l'astronomie vers 1000 avant J.-C.

Les mathématiques babyloniennes ne se réduisent pas à la numération sexagésimale. La base 60 décrit leur système de nombres ; les tablettes contiennent aussi des algorithmes, des relations géométriques et des problèmes résolus. Une tablette consacrée à une équation du second degré relève donc de ces mathématiques même si l'enjeu n'est pas seulement d'écrire un nombre.

Le langage géométrique des problèmes ne garantit pas un raisonnement géométrique strict. Le critère est la cohérence des grandeurs manipulées : soustraire une longueur d'une aire n'a pas de sens géométrique direct. Ce cas nourrit une lecture algébrique défendue par certains historiens.

Sans symbole dédié au zéro, une place vide n'est pas toujours signalée sans ambiguïté. Le symptôme est qu'une même suite de signes peut recevoir plusieurs valeurs selon sa position ou son ordre de grandeur. Il faut alors utiliser le contexte du problème au lieu de lire mécaniquement l'écriture.

La base 60 ne rend pas toutes les fractions également commodes. Son avantage concerne particulièrement les fractions dont les dénominateurs se construisent avec des puissances de 2, de 3 et de 5. Hors de ce cas, il ne faut pas généraliser la facilité observée.

Les dates ne décrivent pas un corpus uniforme. Les tablettes retrouvées se concentrent surtout entre 1800 et 1500 avant J.-C., puis entre 600 avant J.-C. et 300 après J.-C. Il faut donc rattacher une méthode au document étudié plutôt que l'attribuer indistinctement à toute la période.

Une formulation en longueurs et en aires peut masquer une manipulation qui n'est pas géométriquement homogène. Lorsqu'une longueur est soustraite d'une aire, il faut examiner la procédure comme un calcul symbolique possible, sans transformer cette interprétation historique en certitude unanime.

La fiche Équation du second degré prolonge les séries de problèmes babyloniennes par la définition moderne de ce type d'équation et de ses solutions.

La fiche zéro séleucide approfondit le rôle d'un signe de position dans une période tardive de l'écriture numérique mésopotamienne.