algèbre babylonienne

Imaginez une tablette d'argile où un problème est suivi des opérations qui conduisent à sa solution. Plusieurs tablettes mésopotamiennes ordonnent ainsi les exercices selon une progression pédagogique. Parmi eux figurent des problèmes que nous traduisons aujourd'hui par des équations du second degré.

L'expression « algèbre babylonienne » est donc une lecture d'historien. Elle souligne l'organisation des calculs et la recherche d'une quantité inconnue. Une autre lecture insiste sur les surfaces et les découpages géométriques que ces calculs peuvent représenter.

L'algèbre babylonienne est le nom donné par certains historiens à une partie des mathématiques pratiquées en Mésopotamie, autour du foyer de Babylone. Les tablettes d'argile conservées présentent des problèmes, leurs solutions et parfois un ordre pédagogique. Les situations que la notation moderne traduit par des équations du second degré constituent un exemple central de cette lecture algébrique.

Ce nom ne tranche toutefois pas la nature des raisonnements. Les mêmes calculs, même lorsqu'ils paraissent abstraits, peuvent être interprétés comme des opérations sur des figures et des surfaces. « Algébrique » et « géométrique » désignent alors deux lectures historiques possibles d'un même travail, et non deux corpus nécessairement séparés.

Le cadre chronologique est très large : les mathématiques babyloniennes vont approximativement de 3000 avant notre ère à la chute de Babylone en 539 av. J.-C. Cette étendue situe une tradition mathématique ; elle ne permet pas, à elle seule, de dater précisément chaque tablette, problème ou procédure.

Voici une reconstruction moderne destinée à rendre visible un raisonnement du second degré, sans attribuer cet énoncé précis à une tablette. On cherche la longueur inconnue d'un côté.

Données.
La longueur inconnue est notée x et elle est positive.
Un carré de côté x et deux rectangles de côtés x et 5 ont une aire totale de 39.

1. L'aire du carré vaut x². Les deux rectangles ont ensemble l'aire 10x. La donnée devient donc $x^2+10x=39x^2+10x=39$.

2. Pour compléter un grand carré, il manque un carré de côté 5, donc d'aire 25. On ajoute 25 aux deux membres : $x^2+10x+25=64x^2+10x+25=64$.

3. Le membre de gauche est l'aire d'un carré de côté x + 5 : $(x+5{)}^2=64(x+5)^2=64$. Comme x est une longueur positive, x + 5 vaut 8.

4. On retire 5 à 8. La longueur cherchée est donc x = 3. La figure rend visible le carré complété, de côté 8 et d'aire 64.

Contrôle. Avec x = 3, l'aire initiale vaut 3² + 10 × 3 = 9 + 30 = 39. La valeur satisfait exactement la donnée.

Devant la transcription moderne d'un problème sur tablette, relevez d'abord les données, l'inconnue et l'ordre des opérations. Cette lecture est préférable à une traduction immédiate en symboles lorsque l'on veut suivre la progression pédagogique du texte.

Pour vérifier une résolution du second degré, réécrivez les opérations avec une inconnue moderne, puis remplacez-la par le résultat obtenu. Si le calcul porte sur des aires, un découpage géométrique peut montrer pourquoi la transformation fonctionne mieux qu'une suite d'égalités isolée.

Pour commenter le document historiquement, distinguez enfin le calcul observé de son interprétation. Le vocabulaire algébrique met en avant la structure des opérations ; le vocabulaire géométrique met en avant les figures auxquelles elles peuvent correspondre.

Mathématiques babyloniennes. Ce terme couvre l'ensemble des mathématiques des peuples de Mésopotamie autour de Babylone. L'algèbre babylonienne en est une lecture centrée sur les problèmes et calculs assimilables à de l'algèbre, notamment au second degré. Une tablette consacrée à un autre type de calcul relève du premier ensemble sans illustrer nécessairement le second.

Algèbre moderne. Dans cette fiche, la lettre x désigne la longueur inconnue et l'écriture x² + 10x = 39 traduit le problème. Cette notation aide à suivre le calcul, mais sa présence dans une transcription ne prouve pas que la tablette utilisait la même écriture.

Équation du second degré. C'est un type de problème mathématique, non le nom de toute la tradition babylonienne. La présence d'une quantité au carré dans une transcription caractérise l'exemple étudié ; elle ne résume pas toutes les mathématiques de Mésopotamie.

Un mot rétrospectif. Qualifier un calcul ancien d'« algèbre » est une interprétation historique, pas une donnée inscrite dans la seule apparence d'une transcription moderne. Il faut décrire les opérations observées avant de conclure sur leur nature.

Une abstraction seulement apparente. Une suite de nombres peut sembler détachée de toute figure, alors qu'une lecture par les aires reste possible. Il faut donc confronter l'interprétation algébrique à l'interprétation géométrique au lieu de présenter l'une comme certaine.

Une chronologie trop large. La période allant approximativement de 3000 avant notre ère à 539 av. J.-C. encadre les mathématiques babyloniennes. Elle ne date pas automatiquement un document particulier ; sans autre source, on conserve cette fourchette générale.

Une reconstruction n'est pas une citation. Dans l'exemple, la lettre x désigne la longueur inconnue. Le calcul x² + 10x = 39 montre le mécanisme du carré complété, mais la fiche ne l'attribue à aucune tablette précise. Il faut maintenir cette distinction tant qu'une source ne fournit ni document ni attribution.

L'Équation du second degré précise la forme moderne des problèmes dont le carré complété fournit ici une résolution.

L'algèbre replace la recherche d'une inconnue et les transformations d'égalités dans leur cadre mathématique général.