Ibn Al-Ha'im

En 1387, à Jérusalem, Ibn al-Hāʾim enseigne une manière pratique d'aborder des équations du second degré. Au lieu de commencer par des fractions difficiles à manier dans les notations de son époque, il introduit une racine auxiliaire. Cette quantité intermédiaire transforme le calcul en opérations arithmétiques plus directes.

Son choix est aussi pédagogique : avancer par essais et raisonnements numériques rend la résolution plus accessible sans disposer de notre écriture algébrique moderne.

Ibn al-Hāʾim est un mathématicien égyptien né en 1352. Formé au Caire, il s'établit ensuite à Jérusalem et y enseigne. Ses travaux concernent principalement l'arithmétique et l'algèbre élémentaire. Leur caractère distinctif tient à une pédagogie du calcul direct : pour certaines familles de problèmes, il privilégie le tâtonnement arithmétique plutôt qu'une manipulation symbolique.

Dans son Sharḥ al-Urjūza al-Yasminiyya, il propose en 1387 la méthode de la racine auxiliaire pour l'équation générale du second degré. En notation moderne, une équation du second degré s'écrit avec une inconnue nommée x et trois coefficients nommés a, b et c : $a{x}^2+bx+c=0,a\mathrm{\ne }0ax^2+bx+c=0,\backslash quad\; a\backslash ne\; 0$. Une quantité auxiliaire est introduite pendant la résolution ; elle n'est pas nécessairement la solution cherchée.

L'intérêt pratique indiqué par la source est d'éviter la division de fractions, particulièrement malaisée avec les systèmes de notation de l'époque. Les symboles employés ici servent seulement à exposer le mécanisme au lecteur moderne ; ils ne reproduisent pas l'écriture du XIV^e siècle.

Prenons une équation adaptée à une lecture moderne du principe. Les données sont l'inconnue x, le coefficient 10 devant x et le nombre 39 : $x^2+10x=39x^2+10x=39$. Nous cherchons ici la solution positive.

1. Introduisons la quantité auxiliaire z en doublant x puis en ajoutant 10 : $z=2x+10z=2x+10$.

2. Élevons cette quantité au carré et utilisons l'équation de départ.

3. Puisque nous cherchons la solution positive, prenons la racine auxiliaire positive : z = 16. La relation z = 2x + 10 donne alors 2x = 6, donc x = 3.

Le contrôle est direct : 3² + 10 × 3 = 9 + 30 = 39. Le nombre 3 satisfait bien l'équation. L'autre choix, z = −16, conduit à x = −13 et vérifie lui aussi l'équation ; il est écarté uniquement par la recherche annoncée d'une solution positive.

En histoire des mathématiques, la méthode éclaire un problème matériel de calcul : une transformation arithmétique pouvait être préférable quand l'écriture des fractions rendait les divisions pénibles. Une formule symbolique moderne convient mieux si l'objectif est seulement d'obtenir rapidement les racines.

En classe, la racine auxiliaire rend visible le passage d'une équation quadratique à un carré. On la choisit lorsque ce changement simplifie effectivement les nombres ; si les coefficients deviennent plus lourds, une autre méthode de résolution est plus lisible.

Pour vérifier un résultat, la substitution reste le geste décisif. Chaque valeur trouvée est replacée dans l'équation initiale ; elle est retenue seulement si les deux membres donnent le même nombre et si elle respecte la condition annoncée.

La racine auxiliaire est une quantité intermédiaire, tandis qu'une racine de l'équation est une valeur de x qui rend l'égalité vraie. Dans l'exemple, z = 16 aide au calcul, mais la racine positive de l'équation est x = 3.

Le tâtonnement arithmétique teste et organise des calculs numériques ; l'algèbre symbolique transforme des expressions avec des lettres. On les distingue par le geste effectué, non par le problème : une même équation peut être abordée par l'un ou par l'autre.

Une écriture moderne ne doit pas être prise pour une transcription historique. Les lettres x et z de l'exemple expliquent le rôle de la quantité auxiliaire, mais la source fournie ne décrit pas la notation exacte employée par Ibn al-Hāʾim. Il faut donc séparer le principe attribué et sa reformulation pédagogique.

Dans la forme $a{x}^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0$, le coefficient a doit être non nul. Si a = 0, l'équation n'est plus du second degré ; une méthode conçue pour les équations quadratiques n'est alors pas le bon outil.

Extraire une racine carrée peut produire deux signes. Garder seulement z = 16 dans l'exemple ferait perdre x = −13. Une condition, comme « solution positive », peut autoriser ce rejet ; sans condition, les deux valeurs doivent être contrôlées dans l'équation initiale.

La fiche Équation du second degré permet de replacer la racine auxiliaire parmi les méthodes et propriétés de la famille d'équations à laquelle elle s'applique.