AlgèbreNotion · Glossaire
algèbre d'Al-Khwarizmi
L'algèbre d'Al-Khwarizmi consiste à nommer une quantité inconnue et à la traiter dans les calculs comme si elle était connue afin de résoudre systématiquement des équations du second degré. Elle s'appuie sur al-jabr, qui transfère un terme soustrait d'un membre en une addition dans l'autre, et al-muqabala, qui retranche un même terme des deux membres pour équilibrer les expressions positives restantes ; les quantités négatives ne sont pas admises comme solutions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle d'al-jabr et d'al-muqabala dans la transformation d'une égalité.
- Suivre une équation complète en notation moderne et contrôler sa solution positive.
- Distinguer la démarche algébrique de la fausse position arithmétique.
- Comprendre pourquoi une racine négative moderne n'était pas admise dans le cadre historique.
En clair
Au IXe siècle, Al-Khwarizmi expose dans le Kitab al-jabr wa al-muqabala une façon systématique de résoudre des équations du second degré. L'idée décisive est de donner un nom à la quantité cherchée, puis de calculer avec elle comme si elle était connue.
Deux gestes réorganisent alors l'égalité. Al-jabr fait passer un terme soustrait de l'autre côté comme une addition. Al-muqabala retire une même quantité ajoutée des deux côtés. L'équation devient ainsi plus simple sans perdre son équilibre.
Définition
L'algèbre d'Al-Khwarizmi est une méthode de résolution qui transforme une équation tout en conservant l'égalité. Elle s'applique notamment aux équations du second degré présentées dans le Kitab al-jabr wa al-muqabala. La quantité inconnue est nommée et devient un objet du calcul, au lieu d'être seulement recherchée par essais numériques.
L'opération al-jabr, ou réduction, transfère un terme soustrait d'un membre vers l'autre membre sous forme d'addition. L'opération al-muqabala, ou mise en regard, élimine une même quantité ajoutée dans les deux membres. Ces transformations ramènent les expressions à des quantités positives comparables, puis la résolution détermine la valeur de l'inconnue.
Le cadre historique diffère du cadre moderne sur un point essentiel : les quantités négatives peuvent intervenir dans le raisonnement, mais Al-Khwarizmi ne les reçoit pas comme solutions valides. Sa démarche rompt ainsi avec des procédés arithmétiques comme la règle de la fausse position. Elle sera prolongée par Abu-Kamil, Al-Karaji, Al-Samaw'al et Al-Khayyam.
Un exemple, pas à pas
On cherche une quantité positive. La lettre x désigne cette inconnue. Pour rendre les opérations historiques lisibles, l'équation est écrite en notation moderne :
1. Par al-jabr, le terme soustrait 56 passe à droite comme une addition :
2. Par al-muqabala, on retire x des deux membres :
3. En notation moderne, on ajoute 25 aux deux membres pour obtenir un carré :
4. Le calcul moderne donne les deux valeurs x = 4 et x = −14. Dans le cadre d'Al-Khwarizmi, seule la solution positive x = 4 est admise.
Le contrôle se refait dans l'équation de départ : 42 + 11 × 4 − 56 = 4, soit 16 + 44 − 56 = 4. L'égalité est vérifiée.
En pratique
Pour lire une résolution ancienne, on repère d'abord la quantité inconnue, même si aucune lettre moderne n'apparaît. Ce repérage permet de suivre ce qui est ajouté, retiré ou mis en regard.
Pour traduire le raisonnement en écriture actuelle, on conserve les deux membres de l'égalité à chaque étape. Un terme soustrait déplacé signale al-jabr; une même quantité supprimée des deux côtés signale al-muqabala.
Si la recherche avance par valeurs essayées puis corrigées, le procédé relève plutôt d'une méthode arithmétique comme la fausse position. Si l'inconnue elle-même est manipulée, la démarche est algébrique.
À ne pas confondre
L'algèbre d'Al-Khwarizmi ne se confond pas avec la règle arithmétique de la fausse position. Dans la fausse position, on part d'une valeur supposée et on la corrige d'après l'écart observé. Dans la démarche algébrique, la quantité inconnue est nommée et transformée au sein de l'égalité. Une résolution qui manipule directement l'inconnue relève donc de la seconde démarche, même si aucun essai numérique n'a été fait.
Limites et pièges
Une racine négative obtenue par l'écriture moderne ne doit pas être présentée comme une solution admise par Al-Khwarizmi. Dans l'exemple, x = −14 vérifie bien l'équation initiale, mais le cadre historique retient seulement x = 4, la valeur positive.
Les symboles employés aujourd'hui peuvent donner l'impression que le traité utilisait notre notation. Ils servent ici à rendre les transformations contrôlables; il faut distinguer l'écriture moderne du raisonnement historique qu'elle traduit.
Dire qu'Al-Khwarizmi est regardé comme un fondateur ne signifie pas que l'histoire de l'algèbre s'arrête à lui. La méthode a été prolongée et enrichie, notamment par Abu-Kamil, Al-Karaji, Al-Samaw'al et Al-Khayyam.
Pour aller plus loin
Le glossaire algèbre replace la manipulation de l'inconnue dans la notion générale.
La fiche Équation du second degré présente le cadre moderne des équations traitées dans le traité.
L'article La géométrie des équations chez al-Khwārizmī approfondit la lecture géométrique de ces résolutions.
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