Al-Karaji

En 953 naît Al-Karaji, soit à Karaj, en Iran, soit à Bagdad : son lieu de naissance reste présenté sous ces deux possibilités. Ce mathématicien arabe, mort en 1029, travaille sur l’algèbre et transmet ses règles à l’aide de nombres et de démonstrations géométriques.

Ses résultats relient des gestes de calcul encore familiers : multiplier des puissances de même base, additionner des cubes et développer une puissance d’une somme. Ses traités prolongent ainsi les méthodes d’Al-Khwarizmi, notamment pour des équations dont les coefficients sont irrationnels.

Al-Karaji, également nommé Al-Karkhi ou Al-Karigi, est un mathématicien arabe né en 953 et mort en 1029. La source hésite entre Karaj, en Iran, et Bagdad pour son lieu de naissance. Il est l’auteur de trois traités d’algèbre cités sous les titres Al-Kakhri, Al-Badi et Al-Kafi. Il y étend les méthodes d’Al-Khwarizmi aux équations à coefficients irrationnels, avec des exemples numériques et des démonstrations géométriques.

Parmi les résultats qui lui sont attribués figure une règle sur les puissances. Si x désigne une même quantité, tandis que n et m désignent deux exposants, la multiplication s’écrit $x^n\cdot x^m=x^{n+m}x^n\; \backslash cdot\; x^m=x^\{n+m\}$. La règle exige la même base x ; son domaine dépend aussi des puissances effectivement définies.

Al-Karaji est aussi associé à l’identité reliant le carré de la somme des entiers à la somme de leurs cubes. Pour un entier positif n, elle s’écrit $({\sum }_{k=1}^{n}k{)}^2={\sum }_{k=1}^n{k}^3(\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}k)^2=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}k^3$. La source lui attribue enfin des développements de la puissance n-ième de la somme a + b pour les degrés n = 3, 4 et 5.

Vérifions l’identité des sommes de cubes avec les quatre premiers entiers. La lettre n désigne le dernier entier pris en compte.

Données :
n = 4 ;
les entiers sont 1, 2, 3 et 4 ;
leurs cubes sont 1, 8, 27 et 64 ;
les deux membres doivent être calculés séparément.

1. Additionner les quatre entiers donne 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

2. Élever cette somme au carré donne 10² = 100.

3. Additionner séparément les cubes donne 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

4. Les deux résultats sont exactement égaux : $(1+2+3+4{)}^2=1^3+2^3+3^3+4^3=100(1+2+3+4)^2=1^3+2^3+3^3+4^3=100$.

Un contrôle visuel repose sur les sommes successives 1, 3, 6 et 10. Les différences entre leurs carrés valent 1, 8, 27 et 64 : les quatre zones emboîtées reconstituent donc un carré de côté 10 et d’aire 100.

Le calcul direct et le découpage du carré conduisent au même résultat ; l’identité est ainsi vérifiée pour n = 4, sans que ce seul exemple constitue une preuve pour tous les entiers.

Dans un produit de puissances, la règle attribuée à Al-Karaji s’emploie lorsque la base est identique. Ainsi, x² · x³ devient x⁵. Si les bases diffèrent, il faut conserver le produit au lieu d’additionner les exposants.

Développer une puissance d’une somme consiste au contraire à la transformer en une somme de termes. Par exemple, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Avec a = 1 et b = 2, les deux écritures donnent 27 : (1 + 2)³ = 1 + 6 + 12 + 8. Ici, on n’additionne pas les exposants : cette opération ne suit pas la règle du produit de puissances de même base.

Pour additionner 1³ + 2³ + … + n³, l’identité remplace l’addition cube par cube par le carré de 1 + 2 + … + n. L’addition directe reste préférable pour contrôler un petit cas, comme n = 4.

Dans un texte d’histoire des mathématiques, les noms Al-Karaji, Al-Karkhi et Al-Karigi peuvent renvoyer à la même personne. Pour éviter une fausse séparation, on vérifie les dates 953-1029 et les trois traités cités dans la source.

Al-Karaji et Al-Khwarizmi. Ce sont deux noms distincts : Al-Karaji étend des méthodes attribuées à Al-Khwarizmi. La mention d’équations à coefficients irrationnels dans la source concerne ce prolongement par Al-Karaji, pas une identité entre les deux auteurs.

Produit de puissances et puissance d’une somme. La règle xⁿ · x^m = x^n+m porte sur deux puissances de même base multipliées. Le développement de (a + b)ⁿ porte sur une somme élevée à une puissance : (a + b)³ ne se traite donc pas en additionnant des exposants.

Lieu de naissance incertain. La source donne deux possibilités, Karaj en Iran ou Bagdad. Écrire l’une comme un fait certain effacerait cette limite documentaire ; il faut conserver l’alternative.

Notation comprimée. L’écriture complète $({\sum }_{k=1}^{n}k{)}^2={\sum }_{k=1}^n{k}^3(\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}k)^2=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}k^3$ relie les entiers consécutifs de 1 à un entier positif n ; elle ne concerne pas une liste quelconque de nombres.

Même base obligatoire. Dans xⁿ · x^m, les deux puissances ont la base x. Pour x² · y³, le symptôme du piège est la présence de x et de y : les exposants ne s’additionnent pas.

Exemple et preuve. L’égalité obtenue pour n = 4 contrôle le calcul à ce rang seulement. Pour affirmer l’identité à tout entier positif, une démonstration générale reste nécessaire ; une coïncidence numérique isolée ne suffit pas.

Al-Khwarizmi situe l’auteur dont Al-Karaji a prolongé les méthodes algébriques.

La fiche Exposant précise la notation utilisée dans la règle xⁿ · x^m = x^n+m.

L’entrée algèbre replace les traités et les règles d’Al-Karaji dans leur domaine mathématique.

Le binôme de Newton prolonge l’étude du développement de (a + b)ⁿ mentionnée pour les degrés 3, 4 et 5.