Yang Hui

Imaginez une pyramide de nombres qui commence par 1. Pour créer une nouvelle ligne, on place 1 à chaque extrémité et l'on additionne les deux nombres situés juste au-dessus de chaque place intérieure. On obtient ainsi 1 ; puis 1, 1 ; puis 1, 2, 1 ; puis 1, 3, 3, 1.

Cette figure, souvent appelée triangle de Pascal en français, apparaît dans un ouvrage de Yang Hui publié en Chine au XIII^e siècle. Elle donne notamment les coefficients qui permettent de développer une puissance d'une somme. Le travail de Yang Hui ne s'y réduit pas : il expose aussi des méthodes de calcul, des équations et des constructions de carrés magiques.

Yang Hui est un mathématicien chinois de la fin de la dynastie des Song, dont les dates sont données approximativement comme 1238-1298. Il est contemporain de Qin Jiushao et de Li Ye. Ses textes conservés le rattachent à une tradition de commentaire, d'organisation et de généralisation des procédures de calcul.

En 1261, son Xiangjie Jiuzhang Suanfa propose un commentaire approfondi des Neuf Chapitres sur l'art du calcul. Les problèmes y sont classés et traités selon une progression structurée : examen logique, résolution numérique, puis extension à des situations analogues. L'ouvrage transmet aussi le triangle de Yang Hui, appelé aujourd'hui triangle de Pascal dans l'usage français.

Vers 1275, deux ouvrages réunis sous le titre Yang Hui suanfa, ou « méthodes de calcul de Yang Hui », abordent les opérations arithmétiques, les extractions de racines, les équations et systèmes d'équations, les figures géométriques, les carrés magiques jusqu'à l'ordre 10 et les cercles magiques. Ce corpus montre une œuvre de calculateur et de pédagogue, et non l'invention isolée d'une seule figure.

Construisons les cinq premières lignes du triangle transmis dans l'ouvrage de Yang Hui. Le schéma associé rend visible la règle d'addition et met en valeur la ligne utilisée pour développer la quatrième puissance d'une somme.

Étape 1. La ligne de rang 0 contient seulement 1. Chaque ligne suivante commence et finit par 1. Entre ces extrémités, chaque nombre est la somme de ses deux voisins de la ligne précédente.

Étape 2. À partir de 1, 3, 3, 1, les sommes intérieures valent 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6 et 3 + 1 = 4. Avec les deux extrémités, la ligne de rang 4 est donc 1, 4, 6, 4, 1.

Étape 3. Notons a et b les deux termes d'une somme. Les cinq nombres de la ligne de rang 4 sont les coefficients successifs du développement :

Contrôle. En prenant a = 2 et b = 1, le membre de gauche vaut 3⁴ = 81. Le membre développé vaut 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81. L'égalité est donc vérifiée sur ces valeurs.

Pour développer une puissance d'exposant entier non négatif d'une somme, on choisit la ligne de même rang dans le triangle. La ligne 1, 4, 6, 4, 1 fournit ainsi les coefficients de la quatrième puissance, dans l'ordre des puissances décroissantes du premier terme et croissantes du second.

La même ligne se lit aussi en combinatoire. Les nombres 1, 4, 6, 4, 1 comptent les choix de 0, 1, 2, 3 ou 4 objets parmi 4. Cette double lecture relie un calcul algébrique à un problème de dénombrement.

Dans l'œuvre de Yang Hui, l'intérêt pratique dépasse ce triangle. Ses présentations associent le raisonnement sur un problème, son traitement numérique et sa généralisation : une manière de transformer une recette de calcul en méthode réutilisable.

Yang Hui et Blaise Pascal. Le triangle porte couramment le nom de Pascal en français, mais il était connu dans plusieurs traditions mathématiques avant Pascal. La version transmise par Yang Hui appartient à l'histoire des mathématiques chinoises du XIII^e siècle.

Transmission et invention. La présence de la figure dans le livre de Yang Hui ne signifie pas qu'il l'a créée. Yang Hui l'attribue à une tradition antérieure liée à Jia Xian ; une forme du triangle est également attestée chez Al-Karaji.

Commentaire et texte d'origine. Le Xiangjie Jiuzhang Suanfa de 1261 commente les Neuf Chapitres sur l'art du calcul. Yang Hui n'est donc pas présenté comme l'auteur du texte ancien : son apport réside dans le commentaire, la classification et l'organisation des méthodes.

Les dates biographiques sont approximatives. La notation « vers 1238-1298 » ne donne pas deux dates certaines. Elle signale les bornes retenues pour situer Yang Hui dans la dynastie des Song, sans prétendre fixer exactement sa naissance et sa mort.

Les dates des ouvrages ne doivent pas être fusionnées. L'année 1261 concerne le Xiangjie Jiuzhang Suanfa. La date approximative de 1275 concerne les deux ouvrages réunis sous le titre Yang Hui suanfa. Chacune renvoie à une publication distincte.

Le rang des lignes dépend d'une convention. Dans l'exemple, la ligne réduite au nombre 1 est de rang 0 ; 1, 4, 6, 4, 1 est donc de rang 4. Si un ouvrage commence la numérotation à 1, les mêmes nombres apparaissent sur sa cinquième ligne. Le contenu mathématique ne change pas.

Le triangle n'épuise pas l'œuvre. Réduire Yang Hui à cette figure efface ses travaux sur les racines, les équations, la géométrie et les carrés ou cercles magiques. Inversement, la mention de ces domaines ne suffit pas à lui attribuer chaque procédure connue dans la Chine médiévale.

Le triangle de Pascal détaille la règle de construction et les propriétés de la figure aujourd'hui associée à plusieurs traditions. Le binôme de Newton formalise le lien entre ses lignes et le développement d'une puissance d'une somme.

Pour replacer Yang Hui dans une histoire moins centrée sur les appellations européennes, l'article Le très mal nommé « triangle de Pascal » examine cette pluralité d'attributions, tandis que la fiche Jia Xian présente le prédécesseur chinois cité dans la transmission de la figure.

Un autre prolongement consiste à explorer le carré magique. Cette piste restitue l'ampleur du corpus de Yang Hui, qui étudie des arrangements numériques bien au-delà du triangle arithmétique.