Jia Xian

Au XI^e siècle, sous les Song du Nord, Jia Xian dispose des nombres en triangle. Chaque ligne rassemble des coefficients utiles pour calculer, notamment lors de l’extraction de racines carrées ou cubiques. La ligne 1, 3, 3, 1 offre un exemple visible de cette organisation.

Son livre principal est perdu, mais des mathématiciens postérieurs l’ont abondamment cité. Le dispositif est aujourd’hui associé au triangle de Yang Hui en Chine et au triangle de Pascal en Occident.

Jia Xian est un mathématicien chinois ayant vécu approximativement de 1010 à 1070, à l’époque des Song du Nord. Il étudie les mathématiques et l’astronomie auprès de Chu Yan. Son nom peut aussi être transcrit Chia Hsien dans d’autres systèmes de romanisation du chinois.

Son œuvre principale, le Shi Suo Suan Shu, est perdue, mais elle est abondamment citée par des mathématiciens postérieurs. Elle contient une disposition triangulaire des coefficients binomiaux jusqu’à l’ordre 6. Cette disposition porte le nom de triangle de Yang Hui en Chine et celui de triangle de Pascal en Occident.

Jia Xian emploie ces coefficients dans le développement d’une méthode d’extraction des racines carrées et cubiques. Il propose aussi une technique de résolution d’équations algébriques qui préfigure la méthode de Ruffini-Horner. Cette parenté signale une anticipation historique ; elle ne suffit pas à identifier sans nuance la technique de Jia Xian à sa formulation moderne.

Prenons la ligne 1, 3, 3, 1 de la disposition triangulaire. Elle correspond aux coefficients du développement du cube d’une somme. Les données sont deux nombres, désignés par a et b, et les quatre coefficients 1, 3, 3 et 1.

1. On associe successivement les coefficients aux termes a³, a²b, ab² et b³.
2. On obtient l’identité suivante :

3. Avec a égal à 2 et b égal à 1, le membre développé vaut 8 + 12 + 6 + 1, soit 27.
4. Le contrôle direct donne (2 + 1)³ = 3³ = 27. Les deux calculs coïncident exactement.

Cet exemple vérifie le rôle des coefficients représentés en triangle. Il n’a pas pour objet de reconstituer, à lui seul, la procédure historique complète d’extraction des racines de Jia Xian.

Pour développer le cube d’une somme, on lit la ligne 1, 3, 3, 1 et on associe ses nombres aux puissances décroissantes du premier terme. Un développement direct reste préférable si l’expression n’est pas une puissance d’une somme.

Pour étudier l’histoire de l’extraction des racines, on repère chez Jia Xian l’usage de ces coefficients pour les racines carrées et cubiques. Si l’on cherche seulement à effectuer aujourd’hui un calcul de racine, il faut employer une méthode moderne explicitement décrite, car la source ne livre pas ici la procédure historique complète.

Pour suivre l’histoire des méthodes algébriques, on compare la technique de Jia Xian à la méthode de Ruffini-Horner lorsque l’enchaînement des opérations sur les coefficients est le sujet étudié. Le mot préfigure demeure essentiel : il indique une parenté, pas une identité démontrée.

Jia Xian et Yang Hui. Jia Xian est le mathématicien auquel la source attribue une représentation triangulaire des coefficients. Yang Hui donne son nom chinois au triangle. Dans une mention biographique, le nom de la personne concernée permet donc de trancher.

Triangle de Yang Hui et triangle de Pascal. Ces deux noms désignent ici la même disposition de coefficients, selon la tradition de dénomination chinoise ou occidentale. Le contexte culturel explique le choix du nom ; il ne crée pas deux triangles différents.

Technique de Jia Xian et méthode de Ruffini-Horner. La première préfigure la seconde d’après la source. Une ressemblance historique ne permet pas de remplacer automatiquement une procédure par l’autre ; seule une description opération par opération établirait leur degré d’équivalence.

Une œuvre connue indirectement. Le Shi Suo Suan Shu est perdu. Lorsque le détail d’une procédure n’apparaît pas dans la source disponible, il faut s’en tenir aux éléments transmis par les citations postérieures et ne pas reconstruire les étapes manquantes.

Des dates approximatives. Les années 1010 et 1070 sont données avec la mention « vers ». Elles encadrent une période vraisemblable et ne doivent pas être présentées comme des dates de naissance et de mort certaines.

L’ordre 6 n’est pas une borne de la notion. Il décrit l’étendue de la représentation signalée dans l’œuvre de Jia Xian. Rien dans cette indication ne justifie de conclure que les coefficients binomiaux ou leur disposition s’arrêtent à cet ordre.

Deux romanisations. Jia Xian et Chia Hsien peuvent renvoyer au même mathématicien. Dans une recherche documentaire, il est utile de tester les deux formes sans les compter comme deux personnes.

triangle de Pascal — Pour approfondir l’organisation et la lecture du triangle de coefficients évoqué dans la fiche.

Binomiaux (coefficients) — Pour préciser la nature des nombres disposés en triangle et leur rôle dans les développements.

méthode de Horner — Pour étudier la méthode moderne que la technique algébrique de Jia Xian préfigure.

Yang Hui — Pour situer l’autre mathématicien auquel la tradition chinoise associe le nom du triangle.

Sources et variété des mathématiques dites chinoises — Pour replacer ce témoignage dans une histoire plus large des sources mathématiques chinoises.