mathématiques en Chine ancienne

Imaginez une table de calcul où des baguettes rouges et noires représentent les nombres, y compris les nombres négatifs. Un problème décrit une situation concrète, puis une suite de gestes de calcul donne la réponse : mesurer un champ, répartir une taxe ou déterminer une hauteur à partir d’une ombre.

Cette tradition ne se résume pas à compter. Elle a développé des méthodes pour les fractions, les racines, les systèmes d’équations et les polynômes, avec une préférence durable pour des algorithmes que l’on peut exécuter et vérifier.

L’expression « mathématiques en Chine ancienne » désigne une tradition savante attestée par des textes de problèmes, des procédures de calcul et des commentaires. Sa numération est décimale et positionnelle : la valeur d’une baguette dépend de sa position, tandis que des baguettes de couleurs différentes peuvent distinguer les nombres positifs et négatifs. Les procédures portent sur les fractions, les racines carrées, les équations linéaires et certains polynômes.

Les Dix Classiques du calcul constituent le corpus canonique formé pour l’enseignement administratif impérial, même si leurs textes ont des histoires et des dates de compilation différentes. Le Gnomon des Zhou traite notamment d’astronomie et expose le théorème de Pythagore sous une forme visuelle. Les Neuf chapitres sur l’art mathématique, transmis entre la fin du II^e siècle avant notre ère et le I^er siècle de notre ère, ont été commentés par Liu Hui au III^e siècle.

La différence avec la tradition grecque classique concerne surtout la forme de présentation et les pratiques de justification, non l’absence de raisonnement. Les procédures chinoises peuvent résoudre un système de n équations linéaires par une élimination analogue à celle de Gauss, sans que les textes anciens emploient le langage matriciel moderne. Des développements ultérieurs concernent les équations cubiques, le triangle arithmétique et l’algèbre des polynômes à plusieurs inconnues.

Données. Pour rendre la méthode concrète, considérons le système de deux équations où x et y représentent deux quantités inconnues : $x+y=7x+y=7$ et $2x+y=112x+y=11$. Les nombres sont sans unité dans cet exemple.

1. La seconde ligne contient deux fois x. Pour éliminer x, on lui retire deux fois la première ligne ; la première équation reste inchangée et la seconde devient $(2x+y)-2(x+y)=11-14(2x+y)-2(x+y)=11-14$. Il reste donc $-y=-3-y=-3$.

2. En changeant les signes, on obtient $y=3y=3$. La première ligne donne alors $x=7-3=4x=7-3=4$.

Contrôle. Les valeurs trouvées vérifient bien $4+3=74+3=7$ et $2\times 4+3=112\backslash times4+3=11$. Cette élimination par lignes rappelle la procédure décrite dans les Neuf chapitres, tout en évitant d’identifier abusivement une méthode ancienne à la théorie matricielle moderne.

Pour lire un texte de cette tradition, il faut d’abord repérer la situation mesurée, les unités et la procédure proposée. Une formule moderne peut ensuite traduire les étapes, mais elle ne doit pas effacer le rôle des représentations, des baguettes et des opérations successives.

Dans un problème à plusieurs inconnues, l’élimination par lignes permet de supprimer une inconnue, puis de remonter vers les valeurs restantes. Dans l’exemple de la fiche, elle mène à y = 3 puis à x = 4 ; la substitution finale vérifie la réponse dans les deux équations.

Cette approche est particulièrement adaptée aux tâches d’arpentage, de partage, de commerce et d’administration. Elle rappelle qu’un algorithme peut être rigoureux et contrôlable même lorsqu’il n’est pas présenté sous la forme d’un théorème abstrait.

Avec les mathématiques grecques. Les deux traditions contiennent de la géométrie et des raisonnements exacts, mais leurs corpus ne sont pas organisés de la même manière. Les textes chinois privilégient généralement les problèmes et les procédures ; cela ne signifie pas qu’ils seraient dépourvus de justification ou de concepts.

Avec une simple comptabilité. Les usages administratifs sont importants, mais les sources traitent aussi de racines, d’équations, de systèmes linéaires et de polynômes. Réduire cette tradition à la tenue des comptes fait disparaître sa portée algorithmique.

Avec la méthode de Gauss moderne. L’élimination décrite dans certains textes est analogue dans son mécanisme, mais l’attribution et le vocabulaire sont modernes. Il est plus exact de parler d’une procédure chinoise comparable à une élimination de lignes.

Une tradition plurielle. « Mathématiques chinoises » rassemble des textes, des pratiques et des périodes différentes. Les Dix Classiques sont un corpus canonique, mais ils ne forment pas un ouvrage écrit d’un seul bloc ; une date unique ne peut donc pas être attribuée à l’ensemble.

Analogie ne signifie pas identité. Une procédure d’élimination peut produire les mêmes résultats qu’une méthode moderne sans reposer sur la notion de matrice, de déterminant ou de preuve formalisée actuelle. Les comparaisons avec Gauss, l’algèbre ou le triangle de Pascal doivent rester des rapprochements historiques et structurels.

Des limites documentaires. Les textes conservés donnent des procédures, tandis que leur transmission, leurs commentaires et leurs reconstructions modernes peuvent différer. Les affirmations de priorité doivent donc être formulées avec prudence : une méthode attestée dans une source n’établit pas à elle seule une influence directe sur une autre tradition.

Une géométrie non absente. Dire que la géométrie déductive d’inspiration euclidienne arrive plus tard ne veut pas dire que les savants chinois ignoraient la géométrie. Le Gnomon des Zhou traite déjà de rapports, de triangles rectangles et d’astronomie ; c’est le cadre axiomatique euclidien qui se diffuse en Chine au XVII^e siècle, notamment avec la traduction de 1607 par Matteo Ricci et Xu Guangqi.

L’histoire de cette tradition se prolonge jusqu’aux développements des VII^e au XVI^e siècle : résolution d’équations cubiques, trigonométrie et algèbre chinoises, puis algèbre des polynômes à plusieurs inconnues sous les Yuan. Aux XI^e et XII^e siècles, le triangle arithmétique sert au calcul des coefficients du binôme ; au XVII^e siècle, les travaux de Mei Wending combinent des apports euclidiens avec la planimétrie et la trigonométrie sphérique.

Pour approfondir les sources et leurs interprétations, consultez l’article Sources et variété des mathématiques dites chinoises, qui replace les textes, les transmissions et les catégories historiques dans leur diversité.