- Identifier la démonstration déductive comme apport structurant des mathématiques grecques.
- Situer les principales écoles, de Milet à Alexandrie, et les domaines qu'elles ont cultivés.
- Distinguer la géométrie grecque de l'ensemble plus large des recherches sur les nombres, la mécanique, l'astronomie et l'algèbre.
- Interpréter correctement l'insolubilité des trois problèmes grecs sous la restriction de la règle et du compas.
- Tenir compte des voies indirectes de transmission des textes.
Histoire et cultureNotion · Glossaire
mathématiques grecques
Les mathématiques grecques désignent les savoirs et pratiques mathématiques développés dans le monde grec antique. Leur apport majeur est d'avoir lié les mathématiques à la philosophie et introduit l'exigence de la démonstration déductive, qui fonde les résultats sur un enchaînement logique plutôt que sur la seule observation. Elles couvrent notamment la géométrie et la théorie des nombres ; leur histoire doit toutefois être reconstituée à partir de textes transmis indirectement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
En clair
Au VIe siècle avant J.-C., Milet est associée à Thalès et au berceau des mathématiques grecques. Après sa fondation en 331 avant J.-C., Alexandrie devient progressivement l'un des principaux centres intellectuels du monde grec.
Ce déplacement accompagne une idée durable : un résultat mathématique ne repose plus seulement sur un calcul ou une observation. Il doit s'enchaîner à d'autres propositions par une démonstration déductive. La géométrie domine, mais les nombres, l'astronomie, la mécanique et l'algèbre font aussi partie de cette histoire.
Définition
Les mathématiques grecques désignent les pratiques et les doctrines mathématiques développées dans le monde grec antique. Leur apport majeur aux mathématiques occidentales tient à deux transformations liées : elles deviennent une branche de la philosophie et la démonstration déductive s'impose comme exigence. La géométrie y occupe une place éminente, sans épuiser le domaine : théorie des nombres, analyse et démarches préfigurant l'intégrale sont également présentes.
Cette histoire est faite de foyers successifs plutôt que d'un auteur unique. Trois repères suffisent à en suivre le fil : l'école ionienne de Thalès ouvre l'enquête rationnelle ; l'école de Pythagore articule nombres et géométrie ; l'école d'Alexandrie organise et prolonge les savoirs. À Alexandrie, les Éléments d'Euclide incarnent la synthèse déductive, tandis que de nouveaux travaux développent notamment la géométrie, la mécanique et l'astronomie.
Le cadre matériel compte aussi. La numération grecque est décimale, additive et non positionnelle ; peu adaptée aux calculs élaborés, elle s'accompagne de l'usage d'abaques. Quant aux textes connus, ils ont traversé des copies successives, des traductions arabes ou latines et des commentaires médiévaux.
Un exemple, pas à pas
Prenons trois problèmes classiques de la géométrie grecque. Ce cas montre comment distinguer une question mathématique de la contrainte précise imposée aux moyens de construction.
Données.
Problèmes : duplication du cube, trisection de l'angle et quadrature du cercle.
Instruments autorisés dans l'énoncé considéré : règle et compas.
Méthode candidate à tester : une solution de trisection qui emploie une règle graduée.
Repère historique : le XIXe siècle.
Problèmes : duplication du cube, trisection de l'angle et quadrature du cercle.
Instruments autorisés dans l'énoncé considéré : règle et compas.
Méthode candidate à tester : une solution de trisection qui emploie une règle graduée.
Repère historique : le XIXe siècle.
Étape 1. La méthode candidate vise bien l'une des trois constructions recherchées : la trisection de l'angle. Le premier critère est donc rempli.
Étape 2. Comparons maintenant les instruments. L'énoncé autorise une règle et un compas, tandis que la méthode candidate exige une règle graduée : elle ne satisfait donc pas la restriction. Ce test suffit à l'écarter comme réponse au problème ainsi posé, même si son tracé aboutit.
Étape 3. Le résultat établi depuis le XIXe siècle est qu'il est impossible, en général, de résoudre chacun de ces trois problèmes sous cette restriction. Cela n'exclut ni les cas particuliers constructibles, comme la trisection de certains angles, ni le recours à d'autres méthodes.
Contrôle. La conclusion porte bien sur les trois problèmes nommés et sur les deux instruments annoncés. Elle ne transforme donc pas « impossible à la règle et au compas » en « impossible par toute méthode ».
En pratique
Pour suivre la formation d'une idée, on peut repérer l'école et le problème associé. L'école de Pythagore, avec Pythagore, Philolaos et Archytas, lie le mysticisme des nombres à une doctrine géométrique et philosophique. L'école d'Élée, avec Parménide et Zénon, s'y oppose ; les paradoxes de Zénon interrogent notamment le mouvement, la divisibilité et le continu, et font intervenir la question de l'infini.
Pour distinguer abstraction et expérience sensible, on peut comparer les cadres philosophiques. Platon (427-347 avant J.-C.) fonde l'Académie, qui dure jusqu'en 529 après J.-C., et affirme le caractère purement abstrait des mathématiques. Aristote (384-322) et le Lycée installent la logique formelle.
Pour repérer un changement de domaine, on observe l'objet étudié. Euclide résout des équations par des constructions géométriques dans sa synthèse ; Apollonius travaille sur les sections coniques. À Alexandrie, le Musée et la bibliothèque accueillent un champ plus large, illustré par Archimède, Ptolémée, Héron et Diophante.
À ne pas confondre
Mathématiques grecques et seule géométrie. La présence d'une construction dans les Éléments peut donner l'impression que tout le corpus est géométrique. Le critère qui tranche est le domaine étudié : théorie des nombres, analyse, mécanique, astronomie, trigonométrie et algèbre appartiennent aussi au panorama fourni.
Numération grecque et numération décimale de position. Toutes deux ont la base 10 pour repère, mais la première est additive et non positionnelle. Le recours durable aux abaques pour les calculs élaborés manifeste cette différence.
Recherche d'une construction et démonstration de son impossibilité. Hippocrate de Chios étudie notamment la duplication du cube et la quadrature de certaines lunes ; Hippias d'Élis, qui est un sophiste, introduit une courbe liée à la trisection de l'angle. Le constat d'insolubilité générale à la règle et au compas, connu depuis le XIXe siècle, répond à une autre question : celle des limites de ces instruments.
Limites et pièges
Une chronologie n'est pas une lignée unique. Les Achéens arrivent vers 2000 avant J.-C. dans le Péloponnèse, puis les Doriens au XIIe siècle avant J.-C. sur les côtes d'Asie Mineure et les îles de la mer Égée. Au VIIIe siècle, la Grèce reste composée de petits États autonomes. Il faut donc situer chaque cité et chaque école, plutôt que supposer un centre permanent.
Prééminence politique et foyer intellectuel ne se superposent pas toujours. Milet est un foyer intellectuel majeur au VIe siècle avant J.-C. ; Sparte et Athènes sont ensuite des puissances rivales, tandis qu'Athènes accueille plusieurs écoles philosophiques. Après sa fondation en 331 avant J.-C., Alexandrie devient progressivement un centre intellectuel majeur du monde grec. Une tradition mathématique alexandrine se prolonge durant l'Antiquité, mais elle ne constitue pas une institution unique et continue jusqu'en 640 après J.-C.
Les textes transmis ne sont pas toujours des originaux directs. Copies de copies, traductions arabes ou latines et commentaires médiévaux forment les voies de transmission indiquées. Lorsqu'on lit une attribution, il faut conserver cette médiation à l'esprit.
Une formule consacrée n'est pas une exclusivité absolue. L'école ionienne est considérée comme le berceau des mathématiques grecques, et Diophante est souvent qualifié de père de l'algèbre en raison de ses équations diophantiennes. Les mots « considérée » et « souvent qualifié » doivent rester attachés à ces présentations.
Pour aller plus loin
Euclide. Situer l'auteur de la synthèse des Éléments et son rôle durable dans les mathématiques européennes.
Archimède. Prolonger l'étude de l'école d'Alexandrie par l'un de ses mathématiciens les plus marquants.
Diophante d'Alexandrie. Relier les équations diophantiennes à l'essor de l'algèbre dans le monde grec.
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