Zhu Shijie

En 1299, Zhu Shijie publie un manuel qui rassemble 269 problèmes résolus. Son ambition pédagogique couvre le calcul, l’algèbre et la mesure des figures planes ou solides. Son influence atteint durablement les mathématiques japonaises. Un exemplaire retrouvé en Corée permettra de reconstituer l’ouvrage perdu en Chine.

En 1303, son œuvre maîtresse pousse l’algèbre plus loin. Quatre inconnues, nommées Ciel, Terre, Homme et Matière, traduisent un problème raconté en mots. Zhu Shijie les élimine peu à peu pour ramener le calcul à une équation ne contenant plus qu’une variable.

Zhu Shijie, ou Zhū Shìjié (1270-1330), est un mathématicien chinois connu par deux livres conservés. Le Suanxue qimeng, ou Introduction aux études mathématiques, paraît en 1299. Ses 269 problèmes résolus enseignent l’arithmétique, l’algèbre et la mesure de figures planes et de solides. Très diffusé, le texte influence durablement les mathématiques japonaises. Perdu en Chine, il est reconstitué grâce à un exemplaire retrouvé en Corée en 1839.

Le Siyuan yujian, ou Miroir précieux des quatre éléments, paraît en 1303 et réunit 288 problèmes. Dans cette œuvre maîtresse, la méthode des quatre éléments associe quatre inconnues aux noms Ciel, Terre, Homme et Matière. Elle transforme un problème verbal en un système d’équations polynomiales, puis élimine successivement les inconnues jusqu’à obtenir une équation à une variable. Les équations rencontrées peuvent atteindre le quatorzième degré.

Zhu Shijie résout aussi des équations de degré élevé par la méthode de Qin Jiushao, équivalente à celle que Horner développera six siècles plus tard. Il emploie le triangle dit de Pascal, déjà découvert par Jia Xian avant 1050, travaille sur les séries et les progressions, et élabore des procédés préfigurant la diagonalisation matricielle des systèmes linéaires. La préface rapporte enfin vingt années de voyages en Chine comme enseignant de mathématiques.

Suivons l’architecture d’un problème telle que la décrit le Miroir précieux des quatre éléments. Les données de départ sont un problème formulé en mots et quatre quantités inconnues, nommées Ciel, Terre, Homme et Matière.

Voici une illustration moderne du mécanisme, et non un problème historique tiré de l’ouvrage. Notons Ciel $CC$, Terre $TT$, Homme $HH$ et Matière $MM$. Supposons $T=C+1T=C+1$, $H=T+1H=T+1$, $M=H+1M=H+1$ et $C+T+H+M=10C+T+H+M=10$. En remplaçant successivement, on obtient $H=C+2H=C+2$, puis $M=C+3M=C+3$ et enfin $C+(C+1)+(C+2)+(C+3)=10C+(C+1)+(C+2)+(C+3)=10$. Les quatre inconnues ont ainsi été réduites à l’équation $4C+6=104C+6=10$, d’où $C=1C=1$.

Cette équation finale peut être de degré élevé, jusqu’au quatorzième degré dans l’ouvrage. Zhu Shijie peut alors employer la méthode de Qin Jiushao pour la résoudre. Ce passage de quatre inconnues à une seule se lit comme un entonnoir d’éliminations successives.

Le contrôle devient ici calculable : les relations donnent $T=2T=2$, $H=3H=3$ et $M=4M=4$, et leur somme avec $C=1C=1$ vaut bien 10. Plus généralement, si une autre inconnue figure encore dans l’équation finale à côté de la variable conservée, l’élimination n’est pas terminée.

Pour lire un problème du Miroir précieux des quatre éléments, on repère d’abord les quantités inconnues derrière les noms Ciel, Terre, Homme et Matière. Ces noms jouent le rôle de symboles algébriques, non celui d’objets à interpréter littéralement.

Pour suivre la résolution, on observe quelle inconnue disparaît à chaque élimination. Tant que plusieurs inconnues subsistent, on poursuit la réduction ; une équation à une variable marque le point d’arrivée.

Pour situer l’œuvre de Zhu Shijie, on distingue ses deux livres par leur fonction. Le manuel de 1299 organise un apprentissage par problèmes résolus ; le traité de 1303 développe notamment une algèbre à plusieurs inconnues.

Zhu Shijie et Jia Xian. Zhu Shijie emploie le triangle dit de Pascal, mais la source en attribue la découverte antérieure à Jia Xian, avant 1050. Employer le triangle dans l’ouvrage de 1303 ne signifie donc pas l’avoir découvert.

Zhu Shijie et Qin Jiushao. La méthode de résolution des équations de degré élevé utilisée par Zhu Shijie porte le nom de Qin Jiushao. Le critère est l’attribution de la méthode : son usage dans le Siyuan yujian n’en fait pas une méthode éponyme de Zhu Shijie.

Méthode des quatre éléments et méthode de Qin Jiushao. La première élimine des inconnues d’un système polynomial ; la seconde résout l’équation de degré élevé obtenue. Le nombre de variables encore présentes indique laquelle intervient.

Quatre éléments ne signifie pas degré quatre. Les quatre noms désignent des inconnues, tandis que le degré concerne la puissance dans l’équation. Après élimination, une équation à une variable peut aller jusqu’au quatorzième degré dans l’ouvrage.

Le “triangle de Pascal” est une appellation rétrospective. Dans ce contexte, Zhu Shijie utilise une disposition déjà découverte par Jia Xian avant 1050. Il faut séparer le nom aujourd’hui familier de l’antériorité indiquée par la source.

Équivalence ne signifie pas simultanéité. La méthode de Qin Jiushao est dite équivalente à celle de Horner sur le plan du calcul, mais la source les sépare de six siècles. Il ne faut pas en déduire une collaboration ni une filiation directe.

Les éléments biographiques restent circonscrits. La préface atteste vingt années de voyages en Chine comme enseignant de mathématiques. Elle ne suffit pas, dans la source fournie, à reconstruire des étapes, des lieux précis ou une chronologie détaillée.

triangle de Pascal — Pour approfondir la disposition employée par Zhu Shijie et l’antériorité de Jia Xian.

Qin Jiushao — Pour replacer la méthode de résolution des équations de degré élevé utilisée dans le Siyuan yujian.

Jia Xian — Pour identifier le mathématicien auquel la source attribue la découverte du triangle avant 1050.

Sources et variété des mathématiques dites chinoises — Pour replacer ces ouvrages dans une histoire mathématique plus vaste et attentive aux sources.