Cramer Gabriel

En 1750, à Genève, Gabriel Cramer publie un ouvrage consacré aux courbes algébriques. On y trouve une méthode qui transforme un système d’équations linéaires en calculs de déterminants. Dans un système de deux équations, elle permet par exemple d’isoler deux inconnues sans les éliminer l’une après l’autre.

Cramer étudie aussi combien de points fixent une courbe. Le cas des cubiques fait apparaître une difficulté devenue le paradoxe de Cramer : neuf points semblent à la fois déterminer une cubique et pouvoir appartenir à deux cubiques distinctes.

Gabriel Cramer est un mathématicien suisse né à Genève en 1704 et mort à Bagnols-sur-Cèze en 1752. Il partage la chaire de mathématiques de l’Académie de Genève avec Calandrini. Cette organisation lui permet de voyager en Europe et de correspondre avec les Bernoulli, Halley, Stirling, Euler et d’Alembert. Il remplace aussi le latin par le français dans son enseignement des mathématiques.

Ses recherches portent sur les courbes algébriques et les probabilités. Son ouvrage Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, publié en 1750, expose une méthode de résolution des systèmes linéaires aujourd’hui appelée règle de Cramer. Dans l’écriture Ax = b, la matrice A rassemble les coefficients placés devant les inconnues, tandis que b rassemble les valeurs situées à droite des équations : c’est le second membre. On calcule d’abord det(A), le déterminant de A, qui doit être non nul. Pour trouver l’inconnue x_i, on forme A_i en remplaçant la colonne numéro i de A par b. Alors :

Le même ouvrage relie le degré d’une courbe au nombre de points qui la déterminent et fait émerger le paradoxe de Cramer pour les cubiques. Cramer pose également en 1742 le problème de Cramer–Castillon : construire un triangle inscrit dans un cercle dont les côtés passent par trois points donnés A, B et C. Giovanni Francesco Castillon résout ce problème en 1776.

On rencontre Gabriel Cramer dans l’Europe savante du XVIII^e siècle. Quatre repères permettent de le situer : Genève, où il naît et enseigne à l’Académie ; ses échanges avec plusieurs mathématiciens européens ; l’année 1750 sur son grand ouvrage consacré aux courbes algébriques ; et son nom accolé aujourd’hui à une règle, à un paradoxe et au problème de Cramer–Castillon.

Ces traces couvrent trois contextes distincts. La règle appartient à l’algèbre linéaire, le paradoxe à l’étude des courbes algébriques, et le problème de Cramer–Castillon à la géométrie de construction dans un cercle.

Pour situer une mention de Cramer, il faut d’abord identifier l’objet nommé. 1. Si le texte présente un système carré et des déterminants, il s’agit de la règle de Cramer. 2. S’il compare le nombre de points nécessaires à une courbe avec les intersections de deux courbes, il s’agit du paradoxe de Cramer. 3. S’il demande un triangle inscrit dont les côtés passent par trois points donnés, il s’agit du problème de Cramer–Castillon.

Le bon repère est donc le domaine et non la seule présence du nom « Cramer ». L’œil peut croire que règle, paradoxe et problème sont trois étapes d’une même méthode ; ce sont trois contributions différentes, liées respectivement aux systèmes linéaires, aux courbes algébriques et à une construction géométrique.

On cherche x et y dans un système de deux équations. Ses coefficients sont 1, 1, 2 et −1 ; ses seconds membres sont 5 et 1.

1. Calculer le déterminant des coefficients. La matrice est A. Son déterminant vaut 1 × (−1) − 1 × 2 = −3. Comme −3 n’est pas nul, la règle de Cramer s’applique et le système possède une solution unique.

2. Remplacer la première colonne. En mettant 5 et 1 à la place de la colonne de x, le déterminant vaut 5 × (−1) − 1 × 1 = −6. Donc x = (−6)/(−3) = 2.

3. Remplacer la deuxième colonne. En mettant 5 et 1 à la place de la colonne de y, le déterminant vaut 1 × 1 − 5 × 2 = −9. Donc y = (−9)/(−3) = 3.

Les trois déterminants utilisent les mêmes colonnes, sauf celle de l’inconnue calculée. Cette organisation visuelle rend les deux quotients directement vérifiables.

4. Contrôler. En remplaçant x par 2 et y par 3, la première équation donne 2 + 3 = 5 et la seconde donne 2 × 2 − 3 = 1. Les deux égalités sont satisfaites : la solution est bien (2, 3).

Pour résoudre à la main un petit système carré, la règle de Cramer donne une formule séparée pour chaque inconnue. Si le déterminant des coefficients est nul, on abandonne ces quotients et l’on étudie le système par élimination ou par réduction matricielle.

Pour étudier des courbes algébriques, les résultats associés à Cramer invitent à compter à la fois les coefficients qui définissent une courbe et les contraintes réellement indépendantes imposées par des points. Le paradoxe des cubiques montre qu’un simple comptage peut masquer des dépendances.

Pour replacer un texte mathématique du XVIII^e siècle, le parcours de Cramer relie enseignement, voyages et correspondance. Son choix du français plutôt que du latin constitue un repère concret sur la langue de transmission des mathématiques à l’Académie de Genève.

Règle de Cramer et paradoxe de Cramer. La règle calcule les inconnues d’un système linéaire carré lorsque le déterminant des coefficients est non nul. Le paradoxe concerne des courbes algébriques : la présence de neuf points communs à deux cubiques révèle que ces contraintes ne sont pas toutes indépendantes.

Paradoxe de Cramer et problème de Cramer–Castillon. Le premier confronte deux dénombrements pour des cubiques. Le second demande une construction à la règle et au compas dans un cercle ; la mention d’un triangle inscrit et de trois points A, B, C tranche immédiatement.

Un déterminant nul bloque les quotients. Si det(A) = 0, la règle de Cramer ne permet pas de diviser par det(A). Le système peut alors n’avoir aucune solution ou en avoir plusieurs ; il faut l’étudier par une autre méthode au lieu de conclure automatiquement.

Le nombre de points ne suffit pas toujours. Pour un degré n, le comptage n(n + 3)/2 décrit le nombre de contraintes attendu pour déterminer une courbe algébrique. Au degré 3, ce comptage donne 9. Pourtant, deux cubiques distinctes peuvent avoir neuf points communs. Il n’y a pas contradiction si les neuf conditions imposées par ces points ne sont pas indépendantes : certaines découlent des autres et n’ajoutent donc pas une contrainte nouvelle. Lorsqu’un comptage semble garantir une courbe unique mais que deux courbes conviennent, il faut donc examiner ces dépendances plutôt que conclure à l’unicité.

Le cas aligné n’est pas la question générale. Dans le problème de Cramer–Castillon, le cas où A, B et C sont alignés avait déjà été traité par Pappus d’Alexandrie. La question posée par Cramer en 1742 autorise trois points quelconques du plan ; il ne faut pas réduire son énoncé au cas particulier.

L’article Gabriel Cramer et la règle des déterminants : une découverte mathématique du XVIIIe siècle replace la méthode algébrique dans son histoire.

La fiche courbe algébrique prolonge le cadre géométrique dans lequel apparaissent le comptage des points et le paradoxe de Cramer.

L’article Euler-Cramer : quand neuf points ne suffisent plus à définir une cubique développe précisément le cas charnière des neuf points.