paradoxe de Cramer

Imaginez deux courbes cubiques, c’est-à-dire deux courbes décrites par des équations de degré 3. Elles peuvent avoir neuf points d’intersection, en comptant les multiplicités. Or neuf points choisis sans contrainte suffisent en général à fixer une seule cubique. La difficulté vient de là : les neuf points produits par deux cubiques ne sont pas un échantillon libre. Ils obéissent déjà à une relation géométrique. Le paradoxe de Cramer est donc une contradiction apparente entre un comptage de points et un comptage de paramètres.

Le paradoxe de Cramer désigne le conflit apparent entre deux affirmations sur les courbes algébriques du plan. Le degré d’une courbe algébrique est le degré de son équation polynomiale définissante ; dans le plan projectif, on le lit sur une équation homogène irréductible. Pour une courbe de degré n, le théorème de Cramer donne le nombre de points qui la détermine en position générale : $n(n+3)\mathrm{/}2n(n+3)/2$. Une position générale signifie ici que les points n’obéissent à aucune contrainte spéciale qui réduirait ou modifierait ce comptage.

De son côté, le théorème attribué à Maclaurin et aussi à Bézout affirme que, pour deux courbes projectives de degrés n et p sans composante commune, elles ont exactement n×p intersections comptées avec multiplicité dans le plan projectif complexe. Si elles ont une composante commune, le comptage fini peut échouer. Pour deux cubiques, n = p = 3, le produit vaut donc 9. Pris isolément, ce résultat semble dire que deux cubiques distinctes peuvent fournir neuf points par lesquels une infinité d’autres cubiques passerait. Le point manquant est que ces neuf intersections sont géométriquement dépendantes : elles ne sont pas neuf points en position générale. Le théorème de Cayley-Bacharach formalise cette contrainte et dissipe l’apparente contradiction.

On rencontre le paradoxe de Cramer lorsqu’on compare des courbes algébriques dans le plan, surtout des cubiques. Les marqueurs visibles sont un degré, des points d’intersection, un comptage avec multiplicité et la mention de la position générale. Le cadre projectif complexe permet de compter proprement les intersections, y compris celles qui ne se voient pas comme des croisements ordinaires dans le plan réel. Le support porte une question de compatibilité entre deux façons de compter : combien de points une courbe peut imposer, et combien de points deux courbes peuvent partager.

Pour lire le paradoxe, il faut distinguer le degré d’une courbe, le nombre de points qui la détermine et le nombre d’intersections entre deux courbes. On peut suivre quatre étapes. On identifie d’abord les degrés n et p. On applique ensuite le comptage de Cramer, $n(n+3)\mathrm{/}2n(n+3)/2$, à une seule courbe. On compare enfin ce nombre au produit n×p donné par le théorème de Maclaurin-Bézout. La dernière étape consiste à vérifier la position des points.

L’œil croit facilement que neuf points sont neuf contraintes indépendantes. C’est précisément l’erreur de lecture dans le cas des deux cubiques : leurs neuf intersections ont été engendrées par deux équations déjà liées. Le bon réflexe est donc de demander si les points ont été choisis librement ou s’ils proviennent d’une intersection. Le total de neuf est un comptage avec multiplicité dans le cadre projectif complexe, et non nécessairement neuf croisements visibles et distincts dans le plan réel.

Considérons deux courbes cubiques distinctes dans le plan projectif complexe, sans composante commune, et supposons que leurs intersections soient comptées avec multiplicité. Les données sont les suivantes : le premier degré vaut n = 3 ; le second vaut p = 3 ; le nombre de points annoncé par Cramer vaut $n(n+3)\mathrm{/}2n(n+3)/2$ ; le nombre d’intersections donné par Bézout vaut n×p.

Le calcul se déroule ainsi :
1. Pour la première cubique, le nombre de points de détermination vaut 3(3+3)/2 = 9.
2. Pour les deux cubiques, le nombre d’intersections vaut 3×3 = 9.
3. On observe donc le même nombre, neuf.
4. On vérifie alors l’origine des points : les neuf points sont les intersections des deux cubiques, et non neuf points choisis librement.
5. La conclusion est que le théorème de Cramer ne s’applique pas à ces neuf points comme s’ils étaient en position générale.

Le contrôle consiste à remplacer les neuf points d’intersection par neuf points libres. Dans ce second cas, le comptage de Cramer retrouve son domaine : une seule cubique est déterminée en général. L’égalité numérique est donc correcte, mais l’hypothèse géométrique n’est pas la même.

En géométrie algébrique, ce paradoxe sert à contrôler une argumentation fondée sur le seul nombre de points. Avant de conclure qu’une courbe est déterminée, on examine si les points ont été choisis indépendamment.

Dans un calcul d’intersections, le geste pertinent consiste à préciser le cadre : plan réel ou plan projectif complexe, intersections distinctes ou comptées avec multiplicité, courbes partageant ou non une composante. Ces précisions déterminent la portée du comptage.

Pour une première intuition, le nombre de points est un repère utile. Pour une conclusion exacte, l’alternative est l’étude des relations entre les points, notamment la contrainte exprimée par Cayley-Bacharach.

Le paradoxe de Cramer ne doit pas être confondu avec une contradiction logique entre deux théorèmes. Le critère qui les sépare est l’hypothèse de position générale : le comptage de Cramer porte sur des points sans contrainte spéciale, tandis que les intersections de deux cubiques forment un ensemble contraint. Le cas de neuf intersections tranche immédiatement.

Il ne faut pas non plus confondre le nombre d’intersections et le nombre de croisements visibles. Le premier se compte dans le plan projectif complexe et avec multiplicité ; le second ne retient que l’apparence réelle et peut manquer des points ou compter différemment une tangence. La convention de comptage doit être annoncée avant toute comparaison.

Le seuil charnière de l’exemple est n = p = 3 : les deux comptages valent alors 9. Ce nombre ne suffit toutefois pas à conclure qu’une infinité de cubiques passent par les neuf points. Le symptôme est l’impression d’obtenir simultanément unicité et infinité ; il faut rechercher la contrainte de Cayley-Bacharach.

Le mot « intersection » recouvre plusieurs situations. Une tangence ou une intersection multiple compte plusieurs fois dans le comptage algébrique, alors qu’elle peut apparaître comme un seul point dans le dessin. Il faut conserver la multiplicité au lieu de remplacer le calcul par le nombre de marques visibles.

Le résultat de Bézout demande aussi des hypothèses. Si les deux courbes ont une composante commune, le nombre d’intersections peut ne plus être fini ; si l’on travaille seulement dans le plan réel, des intersections complexes peuvent manquer. Dans ces cas, il faut reformuler le cadre ou employer un résultat adapté, sans appliquer mécaniquement le paradoxe.

Pour prolonger cette lecture, l’article Au service des courbes replace les courbes algébriques dans un panorama plus large. Il permet de voir comment les propriétés des courbes et leurs intersections deviennent des objets d’étude à part entière, au-delà du seul comptage du paradoxe de Cramer.