AlgèbreNotion · Glossaire
Bézout Etienne
Étienne Bézout (1730-1783), mathématicien français. Examinateur des gardes de la marine et de l'artillerie, il rédige de nombreux manuels pédagogiques pour ces corps. Ses travaux scientifiques portent sur les équations algébriques et les polynômes : il démontre le théorème de Bézout, affirmant que deux courbes algébriques de degrés m et n sans composante commune se coupent en au plus mn points. Il contribue également à la résolution des systèmes d'équations linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Étienne Bézout, ses fonctions et ses principaux domaines de travail.
- Interpréter la borne donnée par le produit des degrés de deux courbes.
- Vérifier le résultat sur l'intersection d'un cercle et d'une droite.
- Distinguer le théorème géométrique de l'identité de Bézout en arithmétique.
En clair
Au XVIIIe siècle, Étienne Bézout (1730-1783) enseigne les mathématiques par des manuels destinés aux gardes de la marine et de l'artillerie, dont il est examinateur. Son travail relie ainsi pédagogie et recherche.
Il étudie les équations et les polynômes. Le résultat qui porte son nom donne notamment une limite au nombre de rencontres entre deux courbes algébriques : leurs degrés déterminent le nombre maximal de points d'intersection, lorsque les courbes ne partagent pas une même composante.
Définition
Étienne Bézout est un mathématicien français né en 1730 et mort en 1783. Il exerce comme examinateur des gardes de la marine et de l'artillerie et rédige pour ces corps de nombreux manuels pédagogiques. Son activité associe donc transmission des mathématiques et travaux scientifiques.
Ses recherches portent sur les équations algébriques et les polynômes. Le théorème de Bézout relie le degré des équations de deux courbes algébriques à leurs intersections. Si la première courbe a pour degré le nombre entier m et la seconde le nombre entier n, et si elles n'ont pas de composante commune, le nombre de leurs points d'intersection distincts ne dépasse pas le produit .
Dans sa formulation complète, le résultat se place dans le plan projectif sur un corps algébriquement clos : les intersections, comptées avec leur multiplicité, sont alors exactement au nombre de . Bézout contribue aussi à la résolution des systèmes d'équations linéaires.
Un exemple, pas à pas
Considérons un cercle de degré 2, d'équation , et une droite de degré 1, d'équation . Le produit des degrés vaut 2 × 1 = 2 : ces courbes peuvent donc avoir au plus deux points d'intersection distincts.
1. Remplaçons y par x + 1 dans l'équation du cercle.
2. Développons puis simplifions :
4. Avec y = x + 1, les ordonnées correspondantes sont 2 et −1.
2. Développons puis simplifions :
3. Factorisons : . Les abscisses sont donc 1 et −2.
4. Avec y = x + 1, les ordonnées correspondantes sont 2 et −1.
Les deux intersections sont (1 ; 2) et (−2 ; −1). Le contrôle est direct : chaque point vérifie les deux équations. Le maximum annoncé, deux points distincts, est ici atteint.
En pratique
Pour anticiper le nombre d'intersections de deux courbes algébriques, on commence par relever leurs degrés. Le produit fournit une borne rapide, à condition de vérifier qu'elles ne partagent pas une composante.
Pour trouver les points eux-mêmes, cette borne ne suffit pas : il faut résoudre les équations simultanément. Dans l'exemple du cercle et de la droite, la substitution transforme le problème géométrique en une équation du second degré.
Pour lire un résultat inférieur au produit des degrés, on examine le cadre du calcul. Des intersections peuvent être confondues, se situer hors du plan affine réel ou compter plusieurs fois dans la formulation projective.
À ne pas confondre
Le théorème géométrique de Bézout ne doit pas être confondu avec l'identité de Bézout en arithmétique. Le premier relie les degrés de deux courbes à leurs intersections ; la seconde concerne le plus grand commun diviseur de deux entiers. Un problème portant sur une droite et un cercle relève du résultat géométrique, tandis qu'un calcul sur deux entiers relève de l'identité arithmétique.
Une borne n'est pas une méthode de résolution. Lorsque les courbes n'ont pas de composante commune, le produit des degrés indique combien d'intersections distinctes peuvent exister au plus dans le cadre affine, mais il ne donne pas leurs coordonnées. Celles-ci exigent encore la résolution du système d'équations.
Limites et pièges
La formule ne s'applique pas comme une borne finie si les deux courbes possèdent une composante commune. Deux équations qui contiennent la même droite ont alors une infinité de points communs sur cette droite ; il faut d'abord isoler la composante partagée.
Dans le plan réel affine, le nombre observé peut être inférieur au produit des degrés. Une droite peut ne couper un cercle réel en aucun point, le toucher en un seul point ou le traverser en deux points. Pour retrouver le compte exact du théorème complet, on travaille dans le plan projectif sur un corps algébriquement clos et on compte les multiplicités.
Un point de tangence compte davantage qu'un simple point distinct dans le décompte avec multiplicité. Il faut donc annoncer si l'on compte des positions géométriques distinctes ou des intersections avec leur multiplicité.
Pour aller plus loin
La fiche courbe algébrique précise l'objet géométrique auquel s'applique le résultat associé à Bézout.
L'article Tracer les courbes algébriques au XVIIIe siècle : le parallélogramme analytique de Newton et la méthode de Cramer replace leur étude dans le contexte mathématique de l'époque.
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