Hudde Johannes

Au XVII^e siècle, à Leyde puis à Amsterdam, Johannes Hudde partage son temps entre mathématiques et affaires publiques. Il étudie notamment les équations polynomiales et cherche à repérer leurs racines multiples.

Une racine multiple est une valeur qui annule plusieurs fois le même polynôme. La règle de Hudde transforme le calcul pour faire apparaître cette répétition. Dans l'écriture moderne, on compare le polynôme à sa dérivée : une valeur qui annule les deux signale une racine multiple.

Johannes van Waveren Hudde (1628–1704) est un mathématicien hollandais et bourgmestre d'Amsterdam. Après avoir étudié le droit et les mathématiques à Leyde, il participe au cercle de recherches géométriques de Frans van Schooten. Ses travaux concernent les maxima et minima, les courbes algébriques, les équations polynomiales et le calcul actuariel des annuités et des rentes viagères.

Son nom reste attaché à la règle de Hudde. Pour un polynôme non nul noté P et sa dérivée notée P′, une valeur a est une racine multiple de P si, et seulement si, elle annule P et P′ :
Sur les nombres réels ou complexes, ce critère s'applique directement. Le plus grand diviseur commun de P et P′ est non constant exactement lorsque P possède un facteur répété ; chaque facteur de multiplicité m y apparaît avec la multiplicité m − 1.

La formulation historique multiplie les coefficients du polynôme par des termes en progression arithmétique. En pondérant les coefficients de degré n à 0 par n, n − 1, …, 0, on obtient le produit de x par P′. Newton reprendra et citera cette règle. Hudde correspond aussi avec Huygens, Bernoulli, Newton et Leibniz ; ses fonctions municipales le conduisent enfin vers l'hydraulique urbaine et l'assainissement.

On étudie le polynôme P sur les nombres réels. Les données sont sa forme factorisée $P(x)=(x-2{)}^2(x+1)P(x)=(x-2)^2(x+1)$, les deux valeurs candidates 2 et −1, et la dérivée P′.

1. On développe le produit :

2. On dérive terme à terme :

3. Pour la valeur 2, on obtient P(2) = 0 et P′(2) = 0. Le critère confirme que 2 est une racine multiple ; la factorisation montre qu'elle est exactement double.

4. Pour la valeur −1, on obtient P(−1) = 0 mais P′(−1) = 9. Cette racine est donc simple. Le contrôle est refaisable en relisant les exposants de la forme factorisée : 2 apparaît deux fois, tandis que −1 apparaît une fois.

Pour tester si un polynôme possède un facteur répété, on calcule son plus grand diviseur commun avec sa dérivée. Une factorisation complète donne davantage d'information, mais ce test est préférable lorsque seules les multiplicités importent.

Pour repérer les points singuliers d'une courbe algébrique plane d'équation F(x, y) = 0, on cherche les points où F et ses deux dérivées partielles s'annulent ensemble : F(x, y) = ∂F/∂x(x, y) = ∂F/∂y(x, y) = 0. Le calcul différentiel moderne remplace alors la manipulation historique des coefficients.

Pour situer Hudde dans l'histoire des mathématiques, on ne s'arrête pas à sa règle. Ses calculs d'annuités et de rentes viagères, puis son intérêt pour l'hydraulique et l'assainissement, relient ses recherches à ses responsabilités de bourgmestre.

Une racine multiple n'est pas simplement une racine parmi plusieurs. Dans P(x) = (x − 2)²(x + 1), le polynôme a deux racines distinctes, 2 et −1, mais seule la racine 2 est multiple. L'exposant du facteur tranche.

La règle de Hudde n'est pas la méthode de Newton. La première repère des facteurs répétés par un critère algébrique ; la seconde est une procédure d'approximation de racines. Une racine double exacte relève du critère de Hudde, même si Newton a repris et cité sa règle.

Le seul constat P(a) = 0 ne donne pas la multiplicité. Il faut aussi tester P′(a), puis poursuivre avec les dérivées suivantes si l'on veut distinguer une racine double d'une racine triple ou davantage.

Le critère moderne P(a) = P′(a) = 0 reste valable sur un corps quelconque, pour une racine considérée dans une extension. En caractéristique positive, P′ peut toutefois être le polynôme nul alors que P ne l'est pas. Les dérivées ordinaires ne suffisent alors plus à lire l'ordre exact de chaque multiplicité ; il faut revenir à la factorisation.

Un calcul numérique approché peut produire deux valeurs très petites sans qu'elles soient exactement nulles. Pour conclure à une racine multiple, on privilégie un calcul symbolique ou une tolérance justifiée par la précision des coefficients.

La fiche Newton Isaac situe le mathématicien qui reprit et cita la règle de Hudde.

L'entrée courbe algébrique prolonge l'un des principaux domaines de recherche attribués à Hudde.

La notion de Séparable (polynôme) montre comment l'absence de racines multiples devient une propriété algébrique structurante.