AlgèbreNotion · Glossaire

Multiplicité

La multiplicité d'une racine r d'un polynôme P est le plus grand entier k tel que (x - r)^k divise P(x). Une racine de multiplicité 1 est dite simple, de multiplicité 2 double, etc. En termes analytiques, r est une racine de multiplicité k si P(r) = P'(r) = ... = P^{(k-1)}(r) = 0 mais P^{(k)}(r) est non nul. La multiplicité est également définie pour les zéros isolés d'ordre fini des fonctions analytiques non identiquement nulles et, sous le nom de multiplicité algébrique, pour les valeurs propres des endomorphismes en dimension finie.

La racine simple −1 correspond à une traversée ; la racine double 2, à un contact suivi d'un retour du même côté.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Lire la multiplicité dans une factorisation.
Vérifier une multiplicité avec les dérivées successives.
Distinguer multiplicité algébrique, multiplicité géométrique et nombre de racines distinctes.
Reconnaître les limites du raisonnement graphique et le cas du polynôme nul.

En clair

Imaginez la courbe d'un polynôme au voisinage de l'axe horizontal. À une racine simple, elle traverse généralement l'axe. À une racine double, elle peut le toucher puis repartir du même côté. Ce comportement vient d'un facteur répété : dans

P (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)

, le facteur x − 2 apparaît deux fois. Le nombre de répétitions, ici 2, est la multiplicité de la racine 2.

Définition

Soit un polynôme non nul P et un nombre r dans le corps où l'on factorise P. La multiplicité de r comme racine de P est le plus grand entier positif k pour lequel le facteur (x − r)^k divise P. Autrement dit, P s'écrit (x − r)^kQ(x), avec un polynôme Q tel que Q(r) soit non nul. Une multiplicité égale à 1 donne une racine simple ; les multiplicités 2 et 3 donnent respectivement une racine double et une racine triple.

Sur les nombres réels ou complexes, le même entier se lit dans les dérivées successives. Le symbole P^(j) désigne la dérivée d'ordre j du polynôme P. La racine r est de multiplicité k exactement lorsque :

P(r)=P'(r)=\cdots=P^{(k-1)}(r)=0,\quad P^{(k)}(r)\neq 0

Ce critère vaut aussi pour un zéro isolé d'ordre fini d'une fonction analytique non identiquement nulle. Pour une valeur propre d'un endomorphisme en dimension finie, la multiplicité algébrique est celle de cette valeur comme racine du polynôme caractéristique.

Un exemple, pas à pas

Prenons le polynôme P défini par

P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4

. Les nombres à tester sont 2 et −1. Nous allons factoriser P, puis contrôler la racine 2 avec les dérivées.

1. La factorisation donne

P (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)

2. Le facteur x − 2 est au carré et le facteur restant vaut 3 lorsque x vaut 2. La racine 2 a donc pour multiplicité 2.

3. Les dérivées sont

P^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x

P^{''} (x) = 6 x - 6

. On obtient P(2) = 0, P'(2) = 0 et P''(2) = 6, qui est non nul. Le contrôle confirme la multiplicité 2.

4. Le facteur x + 1 n'apparaît qu'une fois. La racine −1 est simple ; le calcul P'(−1) = 9, non nul, le confirme.

La courbe associée rend ces deux résultats visibles : elle traverse l'axe horizontal en −1, tandis qu'elle le touche en 2 avant de repartir du même côté.

En pratique

Lorsqu'un polynôme est déjà factorisé, on lit la multiplicité dans l'exposant du facteur correspondant. Cette voie est préférable si les facteurs sont visibles : elle donne toutes les racines concernées sans calculer plusieurs dérivées.

Lorsque la factorisation est difficile mais qu'une racine r est connue, on évalue P(r), puis les dérivées successives en r. Le premier ordre k pour lequel P^(k)(r) est non nul donne la multiplicité.

Pour une matrice, on commence par son polynôme caractéristique. La multiplicité d'une valeur propre se lit comme celle d'une racine de ce polynôme ; pour connaître le nombre de directions propres indépendantes, il faut ensuite calculer la dimension de l'espace propre.

À ne pas confondre

Multiplicité d'une racine et nombre de racines distinctes. Le polynôme

(x - 2)^{2} (x + 1)

possède deux racines distinctes, 2 et −1, mais trois racines comptées avec multiplicité. Le critère est donc la répétition des facteurs, non le nombre de valeurs différentes.

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique. Pour une valeur propre d'un endomorphisme en dimension finie, la première est son exposant dans le polynôme caractéristique. La seconde est la dimension de l'espace propre associé. Elles coïncident pour certaines matrices, mais pas toujours ; le calcul de l'espace propre tranche.

Limites et pièges

Objet identiquement nul. Si P est le polynôme nul, (x − r)^k le divise pour tout entier k. Il n'existe donc aucun plus grand entier fini : la multiplicité de r n'est pas définie par la règle habituelle. Le même piège concerne une fonction analytique identiquement nulle.

Corps de calcul. Une racine doit appartenir au domaine dans lequel on la cherche. Par exemple, un polynôme réel peut ne pas avoir de racine réelle tout en ayant des racines complexes ; il faut alors préciser que la factorisation est menée sur les nombres complexes.

Lecture graphique. Toucher l'axe suggère souvent une multiplicité paire et le traverser une multiplicité impaire, mais un dessin ou un échantillonnage numérique ne prouve pas l'ordre exact. Il faut factoriser ou appliquer le critère des dérivées.

Fonction seulement dérivable. L'annulation de plusieurs dérivées ne suffit pas toujours à donner une factorisation locale de même nature. Le critère énoncé ici s'applique aux polynômes et, plus généralement, aux fonctions analytiques.