Racine double

Imaginez la courbe d’un polynôme qui descend jusqu’à l’axe horizontal, le touche, puis repart du même côté. Le point de contact peut correspondre à une racine double. La valeur qui annule le polynôme apparaît alors deux fois dans sa factorisation.

Par exemple, le facteur (x − 2)² s’annule pour x égal à 2. Son carré reste positif de part et d’autre de 2 : il explique pourquoi la courbe touche généralement l’axe sans le couper à cet endroit.

Soit p un polynôme et r un nombre. Le nombre r est une racine double lorsque p possède exactement deux facteurs égaux à x − r : il existe un polynôme q tel que $p(x)=(x-r{)}^{2}q(x)p(x)=(x-r)^2q(x)$, avec q(r) non nul. Si (x − r) intervient davantage de fois, r reste une racine multiple, mais sa multiplicité est supérieure à deux.

Pour un polynôme à coefficients réels ou complexes, la condition de divisibilité par (x − r)² équivaut aux deux égalités $p(r)=p^{\mathrm{\prime }}(r)=0p(r)=p\text{'}(r)=0$. La dérivée p′ s’annule donc elle aussi en r. Dans la liste des racines comptées avec leur multiplicité, une racine double occupe deux places. Pour un polynôme de degré n, le total vaut n lorsque toutes les racines sont comptées dans le corps complexe.

Sur le graphe réel de y = p(x), une racine de multiplicité exactement deux donne un contact tangent avec l’axe des abscisses, sans changement de signe local. Les racines multiples sont précisément les racines communes à p et p′ ; elles apparaissent donc parmi les racines de leur plus grand commun diviseur.

Considérons le polynôme p défini par $p(x)=(x-2{)}^2(x+1)p(x)=(x-2)^2(x+1)$. Nous voulons déterminer la nature de ses racines et contrôler le résultat par la dérivée.

Données.
Le facteur x − 2 est élevé au carré.
Le facteur x + 1 apparaît une fois.
Le polynôme développé est p(x) = x³ − 3x² + 4.

1. Le facteur (x − 2)² s’annule pour x = 2. Comme l’autre facteur vaut 3 en 2, la multiplicité est exactement deux.

2. Le facteur x + 1 s’annule pour x = −1 et n’est pas répété. La valeur −1 est donc une racine simple.

3. En dérivant la forme développée, nous obtenons $p^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)p\text{'}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. Ainsi, p(2) = 0 et p′(2) = 0.

4. Le contrôle des degrés donne 2 + 1 = 3, soit le degré de p. Les multiplicités trouvées rendent donc compte de toutes ses racines complexes.

La courbe associée confirme ce calcul : elle traverse l’axe en −1, mais elle le touche en 2 avant de repartir vers les valeurs positives.

Avec une factorisation. Lorsque le polynôme est déjà écrit comme un produit, on lit l’exposant du facteur x − r. Un exposant 2 établit une racine double si les autres facteurs ne s’annulent pas aussi en r.

Avec la dérivée. Si la factorisation n’est pas disponible, on cherche les valeurs qui annulent simultanément p et p′. Le calcul du PGCD de ces deux polynômes est préférable lorsque plusieurs racines multiples sont possibles.

Sur une courbe. Un simple contact avec l’axe suggère une multiplicité paire, mais le dessin ne prouve pas qu’elle vaut exactement deux. La factorisation ou les dérivées successives permettent de trancher.

Racine double et deux racines distinctes. Une racine double est une même valeur répétée deux fois. Dans (x − 2)(x + 1), les valeurs 2 et −1 sont deux racines distinctes, chacune simple.

Racine double et point critique. Un point critique vérifie p′(r) = 0, mais il n’est une racine double que si p(r) = 0 et si la multiplicité vaut exactement deux. Pour p(x) = x² + 1, la dérivée s’annule en 0, tandis que p(0) = 1.

Racine double et solution double d’une équation du second degré. La seconde expression concerne seulement une équation quadratique dont le discriminant est nul. La notion de racine double s’applique aussi à des polynômes de degré supérieur, comme l’exemple cubique de la fiche.

Une annulation commune ne suffit pas à dire « double ». Si p, p′ et p″ s’annulent en r, la multiplicité peut être au moins trois. Il faut vérifier que le facteur (x − r)² divise p, mais que (x − r)³ ne le divise pas.

Le contact avec l’axe ne détermine pas la multiplicité exacte. Les courbes de (x − 2)² et de (x − 2)⁴ restent toutes deux du même côté de l’axe près de 2. Seul le calcul des facteurs ou des dérivées successives les distingue.

Le comptage jusqu’au degré demande le bon cadre. Un polynôme réel peut ne pas avoir toutes ses racines dans les nombres réels. Le total des multiplicités est égal au degré lorsque les racines sont comptées dans les nombres complexes.

Le PGCD conserve les racines multiples, pas leur multiplicité initiale. Si r a multiplicité m dans p, elle a multiplicité m − 1 dans le PGCD de p et p′. Pour une racine exactement double, elle apparaît donc une seule fois dans ce PGCD.

Multiplicité — Pour généraliser le comptage d’une racine répétée deux, trois fois ou davantage.

PGCD — Pour approfondir l’outil qui isole les facteurs communs d’un polynôme et de sa dérivée.

Factorisation — Pour apprendre à lire directement les racines et leurs multiplicités dans un produit de facteurs.