Histoire et cultureNotion · Glossaire
Sarrus Pierre Frédéric
Pierre Frédéric Sarrus est un mathématicien français qui a formulé la règle de Sarrus. Celle-ci calcule le déterminant d'une matrice 3×3 en recopiant ses deux premières colonnes, puis en additionnant les produits des trois diagonales descendantes et en soustrayant ceux des trois diagonales montantes ; ce repère visuel aide à ordonner les six produits et leurs signes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les étapes connues de la carrière de Pierre Frédéric Sarrus.
- Appliquer la règle de Sarrus à une matrice 3×3.
- Contrôler les six produits, leurs signes et le résultat exact.
- Reconnaître la limite de la méthode au format 3×3.
En clair
En 1833, Pierre Frédéric Sarrus enseigne les mathématiques à Strasbourg. Son nom reste attaché à un geste de calcul : pour trouver le déterminant d'une grille de neuf nombres, on recopie ses deux premières colonnes, puis on suit des diagonales. Trois produits sont additionnés et trois autres sont soustraits.
Cette règle est un moyen mnémotechnique réservé aux matrices 3×3. Elle rend visible l'ordre des six produits et, surtout, les signes à leur attribuer.
Définition
Pierre Frédéric Sarrus est un mathématicien français né en 1798 et mort en 1861. Originaire de l'Aveyron, il étudie à Montpellier, obtient un doctorat en 1821 puis l'agrégation en 1822. Après Pézenas et Perpignan, il devient professeur à l'université de Strasbourg en 1829, puis doyen. Il prend sa retraite en 1859 pour raisons de santé.
La règle qui porte son nom calcule le déterminant d'une matrice carrée comportant trois lignes et trois colonnes. Pour une matrice dont les neuf coefficients sont notés de a à i, rangés ligne par ligne, la formule est :
Le procédé consiste à recopier les deux premières colonnes à droite : les trois diagonales descendantes donnent les termes positifs, les trois diagonales montantes les termes négatifs. Sarrus a aussi travaillé sur les équations numériques, le calcul des variations, la mécanique des systèmes articulés et l'astronomie.
Un exemple, pas à pas
On cherche le déterminant de la matrice A. Ses lignes sont (2, 1, 3), (0, −1, 4) et (5, 2, 1). Les deux premières colonnes sont recopiées à droite pour suivre les six diagonales.
1. Les produits des diagonales descendantes sont 2 × (−1) × 1 = −2, 1 × 4 × 5 = 20 et 3 × 0 × 2 = 0. Leur somme vaut 18.
2. Les produits des diagonales montantes sont 3 × (−1) × 5 = −15, 1 × 0 × 1 = 0 et 2 × 4 × 2 = 16. Leur somme vaut 1.
3. On soustrait la seconde somme à la première : det(A) = 18 − 1 = 17. Pour contrôler, un développement selon la première ligne donne 2 × (−9) − 1 × (−20) + 3 × 5 = 17.
En pratique
Pour un calcul à la main sur une matrice 3×3, la règle de Sarrus offre un repère visuel compact. Recopier les deux premières colonnes évite de mémoriser les six produits hors de leur disposition.
Pour vérifier le résultat, on peut recalculer le déterminant par un développement suivant une ligne ou une colonne. Si les deux valeurs diffèrent, il faut contrôler d'abord les trois signes négatifs et l'ordre des facteurs.
Pour une matrice plus grande que 3×3, ce schéma de diagonales ne s'étend pas. On choisit alors une méthode générale, par exemple un développement par cofacteurs ou une élimination adaptée au déterminant.
À ne pas confondre
Pierre Frédéric Sarrus et la règle de Sarrus. Le premier est le mathématicien français qui a formulé le procédé en 1833 ; la seconde est le procédé de calcul. Une date, une carrière ou un domaine de recherche concerne la personne, tandis qu'une suite de six produits concerne la règle.
La règle et le déterminant. Le déterminant est le nombre associé à la matrice ; la règle de Sarrus est seulement une manière de le calculer lorsque la matrice est 3×3. Dans l'exemple, 17 est le déterminant, pas la règle.
Limites et pièges
Taille de la matrice. Le dessin des diagonales donne exactement six produits pour une matrice 3×3. L'appliquer tel quel à une matrice 4×4 oublie des termes : il faut employer une méthode générale.
Signe des trois derniers produits. Une diagonale montante peut déjà contenir un nombre négatif. On calcule d'abord son produit signé, puis on soustrait ce produit entier. Dans l'exemple, soustraire −15 contribue donc pour +15.
Colonnes recopiées. Les deux colonnes ajoutées ne créent pas une matrice 3×5 et ne changent pas le déterminant. Elles servent uniquement de guide visuel ; le calcul porte toujours sur les neuf coefficients d'origine.
Pour aller plus loin
La règle de Sarrus n'est qu'une porte d'entrée vers les déterminants. Comparer ses six produits avec un développement par cofacteurs montre pourquoi les mêmes termes et les mêmes signes apparaissent, puis prépare l'étude de matrices de taille supérieure.
Le parcours scientifique de Sarrus ouvre aussi plusieurs directions : les équations numériques, le calcul des variations, la mécanique des systèmes articulés et l'astronomie. Ces domaines rappellent que son œuvre ne se réduit pas au procédé mnémotechnique resté attaché à son nom.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres