AlgèbreNotion · Glossaire
comatrice
La comatrice (ou matrice adjointe classique) d'une matrice carrée A d'ordre n est la matrice B d'ordre n dont le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne est le cofacteur Cj,i de A (transposée de la matrice des cofacteurs). Elle vérifie la relation fondamentale : A · B = B · A = det(A) · I, où I est la matrice identité d'ordre n et det(A) le déterminant de A. Lorsque A est inversible (det(A) ≠ 0), la comatrice permet d'exprimer l'inverse de A par la formule A⁻¹ = (1/det(A)) · B.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la comatrice comme la transposée de la matrice des cofacteurs.
- Calculer une comatrice 2 × 2 et contrôler le résultat par un produit matriciel.
- Savoir quand la comatrice fournit l'inverse et ce qui change si le déterminant est nul.
- Distinguer la comatrice de la matrice des cofacteurs et de l'adjointe hermitienne.
En clair
Prenez une grille carrée de nombres. Pour fabriquer sa comatrice, on calcule d'abord un cofacteur à chaque place : ce nombre résume le petit tableau obtenu en supprimant la ligne et la colonne correspondantes, avec un signe alterné.
On échange ensuite lignes et colonnes dans la grille des cofacteurs. La matrice obtenue a une propriété remarquable : multipliée par la matrice de départ, elle donne le déterminant sur la diagonale et des zéros ailleurs.
Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre n ≥ 1, c'est-à-dire comportant n lignes et n colonnes. Pour chaque coefficient situé à la ligne i et à la colonne j, son mineur est le déterminant obtenu après suppression de cette ligne et de cette colonne, avec la convention que le déterminant de la matrice vide vaut 1. Le cofacteur Ci,j est ce mineur affecté du signe (−1)i+j.
La comatrice de A, aussi appelée matrice adjointe classique, est la transposée de la matrice de ces cofacteurs. Son coefficient de ligne i et de colonne j vaut donc Cj,i. En notant In la matrice identité d'ordre n, elle satisfait l'identité .
Si le déterminant de A est non nul, A est inversible et . Si ce déterminant est nul, la comatrice existe encore, mais cette formule ne définit pas d'inverse. La construction s'applique à toute matrice carrée, quelle que soit sa taille.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice carrée A à deux lignes : . Les quatre nombres 2, 1, 3 et 4 sont les données du calcul.
1. Calculons son déterminant : . Il est non nul, donc l'inverse pourra être obtenu à la fin.
2. Calculons les cofacteurs en respectant l'alternance des signes : . Par exemple, le cofacteur en première ligne, deuxième colonne est −3.
3. Transposons cette matrice des cofacteurs : . Le passage des cofacteurs à leur transposée est le geste décisif de la construction.
4. Contrôlons le résultat : . Les termes hors diagonale s'annulent. Ainsi, , ce que l'on peut revérifier en multipliant A par cette dernière matrice : le produit vaut I2.
En pratique
Pour inverser à la main une petite matrice, on calcule son déterminant puis sa comatrice. Cette voie est particulièrement lisible en ordre 2 ou 3. Pour une grande matrice numérique, une méthode d'élimination est généralement préférable, car elle évite de développer de nombreux déterminants.
Pour contrôler une comatrice calculée, on multiplie la matrice initiale par le résultat. Le produit doit présenter le même nombre, le déterminant, sur toute la diagonale et des zéros ailleurs. Un terme hors diagonale non nul révèle une erreur de cofacteur, de signe ou de transposition.
Dans les calculs symboliques, la comatrice reste utile même quand le déterminant peut s'annuler selon un paramètre. Elle fournit alors une identité polynomiale sans division. Pour obtenir effectivement l'inverse, il faut ensuite vérifier que le déterminant n'est pas nul.
À ne pas confondre
Matrice des cofacteurs. Elle place Ci,j à la position (i,j), tandis que la comatrice place Cj,i. Si la matrice des cofacteurs n'est pas symétrique, les deux tableaux diffèrent : dans l'exemple, −3 et −1 échangent leur position.
Adjointe au sens hermitien. Pour une matrice complexe, l'adjointe hermitienne est la transposée de la matrice obtenue en conjuguant les coefficients. La matrice adjointe classique, synonyme de comatrice ici, est construite avec des cofacteurs. Le calcul employé permet de trancher entre les deux sens.
Limites et pièges
Déterminant nul. La comatrice est encore définie, mais la division par le déterminant est impossible. Le symptôme est det(A) = 0 : la matrice n'a alors pas d'inverse, et il faut étudier autrement le système ou l'application linéaire concernés.
Matrice non carrée. La construction classique ne s'applique pas, car le déterminant de la matrice entière n'est pas défini. Il ne faut pas fabriquer une prétendue comatrice rectangulaire ; selon le problème, on emploie plutôt une autre notion d'inverse ou une méthode de résolution adaptée.
Oubli de la transposition. Calculer correctement tous les cofacteurs ne suffit pas. Dans l'exemple, conserver −3 en position (1,2) donne la matrice des cofacteurs, pas la comatrice. Le contrôle par le produit avec A détecte ce piège immédiatement.
Pour aller plus loin
Le glossaire cofacteur détaille le calcul signé qui fournit chaque coefficient avant la transposition.
La fiche matrice inverse replace la formule par la comatrice parmi les façons de caractériser et de calculer un inverse.
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