mineur d'une matrice

Imaginez neuf nombres rangés en carré, sur trois lignes et trois colonnes. Choisissez une case, puis barrez toute sa ligne et toute sa colonne. Il reste quatre nombres, encore disposés en carré.

Le déterminant de ce petit carré est le mineur associé à la case choisie. Dans l'exemple de cette fiche, la case située ligne 2, colonne 3 laisse les nombres 2, 1, 5 et 2 : leur déterminant vaut −1.

Soit A une matrice carrée de taille n, dont l'entrée située sur la ligne i et la colonne j est notée a_ij. On supprime la ligne i et la colonne j de A. La matrice carrée restante, de taille n − 1, a un déterminant : ce nombre est le mineur M_ij associé à l'entrée a_ij.

Le cofacteur C_ij ajoute au mineur un signe qui alterne comme sur un damier :$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}C\_\{ij\}=(-1)^\{i+j\}M\_\{ij\}$. Le déterminant de A se développe alors selon n'importe quelle ligne i :Un développement analogue est possible selon une colonne.

Dans un sens plus général, un mineur d'ordre k est le déterminant de toute sous-matrice carrée k × k choisie dans une matrice, même rectangulaire. La notation M_ij obtenue en rayant exactement une ligne et une colonne suppose en revanche que la matrice de départ soit carrée.

Quatre éléments interviennent. La matrice carrée A fournit les nombres de départ. La position (i, j) désigne la ligne et la colonne à retirer. La sous-matrice restante conserve toutes les autres lignes et colonnes dans leur ordre initial. Son déterminant est le mineur M_ij.

Le mineur dépend donc à la fois des valeurs de A et de la position choisie : deux cases différentes peuvent laisser deux sous-matrices différentes. En revanche, la valeur a_ij placée dans la case choisie disparaît avant le calcul ; elle ne détermine pas à elle seule M_ij.

Ces données suffisent à calculer le cofacteur en appliquant le signe (−1)^i+j. L'ensemble des cofacteurs permet ensuite de développer le déterminant ou, après transposition, de construire la matrice adjointe.

On considère une matrice carrée A de neuf entrées et la position choisie : ligne 2, colonne 3. On cherche d'abord le mineur M₂₃, puis le cofacteur C₂₃.

1. Supprimer. On retire la deuxième ligne, qui contient 0, −1 et 4, puis la troisième colonne, qui contient 3, 4 et 0. Il reste une matrice 2 × 2.

2. Calculer le mineur. La suppression et le calcul donnent :

3. Appliquer le signe. La somme des indices vaut 2 + 3 = 5, un nombre impair. Le cofacteur vaut donc C₂₃ = (−1)⁵ × (−1) = 1.

4. Contrôler par le déterminant. Sur la deuxième ligne, M₂₂ vaut −15, donc C₂₂ vaut −15. Le développement donne 0 × C₂₁ + (−1) × (−15) + 4 × 1 = 19. Un calcul direct du déterminant de A donne aussi 19.

Pour calculer un déterminant à la main, on développe de préférence selon une ligne ou une colonne riche en zéros : les termes correspondants s'annulent. Une élimination de Gauss est souvent plus efficace pour une grande matrice dense.

Pour construire la matrice adjointe, on calcule tous les mineurs associés aux positions, on leur applique le damier des signes, puis on transpose la matrice des cofacteurs. Pour inverser une matrice numériquement, une factorisation est généralement préférable à cette formule.

Pour étudier le rang, on cherche le plus grand ordre d'un mineur non nul. En calcul exact, ce critère est décisif ; avec des données arrondies, on emploie plutôt une méthode numérique assortie d'un seuil de tolérance.

Sous-matrice. C'est un tableau obtenu en conservant certaines lignes et colonnes. Le mineur est un nombre : le déterminant d'une sous-matrice carrée. Dans l'exemple, le tableau de taille 2 × 2 est la sous-matrice et −1 est son mineur.

Cofacteur. Il vaut le mineur multiplié par le signe (−1)^i+j. Pour la position (2, 3), le mineur vaut −1 tandis que le cofacteur vaut 1 : l'impair 2 + 3 change le signe.

Déterminant de la matrice entière. Il utilise toutes les lignes et colonnes d'une matrice carrée. Pour A, le déterminant vaut 19 ; M₂₃ vaut −1 et provient seulement de la sous-matrice restante.

Matrice rectangulaire. Après suppression d'une ligne et d'une colonne d'une matrice m × n avec m ≠ n, la sous-matrice reste rectangulaire et n'a pas de déterminant. Il faut choisir autant de lignes que de colonnes pour former un mineur d'ordre k.

Cas de taille 1. Supprimer l'unique ligne et l'unique colonne laisse une matrice 0 × 0. Avec la convention det(∅) = 1, le seul mineur associé et le seul cofacteur valent 1, ce qui préserve les formules de développement.

Mineur principal. Ce nom est réservé à une sous-matrice obtenue avec le même ensemble d'indices de lignes et de colonnes. Tous les mineurs ne sont donc pas principaux ; le terme ne signifie ni « plus grand » ni « plus important ».

Signe oublié. Un développement du déterminant emploie les cofacteurs, pas les mineurs seuls. Le symptôme est une erreur de signe aux positions où i + j est impair ; il faut appliquer le damier commençant par + en position (1, 1).

La fiche sur le cofacteur approfondit le damier des signes qui transforme les mineurs en termes d'un développement du déterminant.

La matrice adjointe montre comment la transposée de la matrice des cofacteurs intervient dans une formule de l'inverse.