cofacteur

Dans une matrice carrée, choisissez un nombre puis masquez toute sa ligne et toute sa colonne. Les nombres encore visibles forment une matrice plus petite, éventuellement vide dans le cas d’une matrice 1 × 1. Son déterminant, égal à 1 par convention lorsqu’elle est vide, fournit le mineur du nombre choisi.

Le cofacteur est ce mineur muni d’un signe. Les signes alternent comme les cases d’un damier : plus en haut à gauche, puis moins, puis plus. Le cofacteur résume donc à la fois la sous-matrice associée à une position et le signe imposé par cette position.

Soit A une matrice carrée. L’élément situé sur sa ligne numéro i et sa colonne numéro j est noté a_ij. En supprimant cette ligne et cette colonne, on obtient une sous-matrice carrée. Le déterminant de cette sous-matrice est le mineur M_ij associé à a_ij. Le cofacteur C_ij est alors défini par $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}C\_\{ij\}=(-1)^\{i+j\}M\_\{ij\}$.

Le facteur de signe vaut +1 lorsque la somme i + j est paire et −1 lorsqu’elle est impaire. Les cofacteurs permettent de développer le déterminant de A selon n’importe quelle ligne ou colonne : chaque élément choisi est multiplié par son propre cofacteur, puis les produits sont additionnés. Réunis dans une matrice et transposés selon la convention employée pour la comatrice, ils interviennent aussi dans la formule de l’inverse. Lorsque les coefficients appartiennent à un corps, cette formule ne s’applique que si A est inversible, ce qui équivaut à dire que son déterminant n’est pas nul.

Considérons la matrice carrée A et cherchons le cofacteur de l’élément placé sur la deuxième ligne et la troisième colonne.

Données : i = 2, j = 3 et a₂₃ = 5.

1. Supprimons la deuxième ligne et la troisième colonne. Il reste la sous-matrice formée par 2, −1, 1 et 2. La figure matérialise cette sélection sans remplacer le calcul.

2. Son déterminant est le mineur recherché : .

3. La somme des indices vaut 2 + 3 = 5. Elle est impaire, donc le facteur de signe vaut (−1)⁵ = −1.

4. Le cofacteur est donc $C_{23}=(-1)\times 5=-5C\_\{23\}=(-1)\backslash times5=-5$. Il s’agit d’un scalaire, sans unité.

Un contrôle refaisable consiste à développer le déterminant selon la deuxième ligne. On obtient 0 × C₂₁ + 4 × C₂₂ + 5 × C₂₃ = 0 + 4 × (−7) + 5 × (−5) = −53, résultat identique au calcul direct du déterminant de A.

Pour calculer un déterminant à la main, on développe volontiers selon une ligne ou une colonne contenant plusieurs zéros. Les produits associés aux zéros disparaissent ; si aucune ligne n’est avantageuse, une réduction préalable peut demander moins de calculs.

Pour inverser une petite matrice carrée, on peut calculer ses cofacteurs, former la comatrice selon la convention retenue, puis diviser par le déterminant. Si ce déterminant vaut zéro, cette voie signale immédiatement que la matrice n’a pas d’inverse.

Pour un seul élément, il suffit de supprimer sa ligne et sa colonne : inutile de construire toute la matrice des cofacteurs. Lorsqu’ils sont tous nécessaires, un calcul organisé en damier réduit les erreurs de signe.

Mineur et cofacteur. Le mineur M_ij est un déterminant de sous-matrice ; le cofacteur C_ij ajoute le signe (−1)^i+j. À la position (2,3) de l’exemple, le mineur vaut 5 tandis que le cofacteur vaut −5.

Cofacteur et déterminant de la matrice entière. Un cofacteur dépend d’une position et d’une sous-matrice. Le déterminant combine les éléments d’une ligne ou d’une colonne avec leurs cofacteurs. Ici, C₂₃ = −5, mais le déterminant de A vaut −53.

Matrice non carrée. La définition donnée ici repose sur des déterminants et s’applique à une matrice carrée. Si la suppression d’une ligne et d’une colonne ne laisse pas une matrice carrée, le déterminant requis n’est pas défini dans ce cadre.

Cas d’une matrice 1 × 1. Après suppression de l’unique ligne et de l’unique colonne, il reste la matrice vide. Avec la convention selon laquelle son déterminant vaut 1, l’unique cofacteur vaut 1. Oublier cette convention bloque à tort le calcul.

Signe attaché à la position. Une même sous-matrice numérique peut donner des cofacteurs opposés si la parité de i + j change. Il faut déterminer le signe avec les indices d’origine, avant toute réorganisation des lignes ou des colonnes.

Inverse et convention de comatrice. La matrice des cofacteurs doit être transposée dans la formule usuelle de l’inverse ; certains textes nomment « comatrice » cette transposée, d’autres la matrice avant transposition. Il faut vérifier la convention. Dans tous les cas, un déterminant nul interdit la division et donc cette construction de l’inverse.

mineur d'une matrice — Pour isoler le déterminant de sous-matrice qui constitue la valeur non signée d’un cofacteur.

comatrice — Pour voir comment les cofacteurs sont assemblés et quelle transposition intervient selon la convention choisie.

matrice inverse — Pour replacer la comatrice et le déterminant non nul dans la construction d’une inverse.