Opérations élémentaires

Dans une matrice, les nombres sont rangés en lignes et en colonnes. On peut échanger deux lignes, multiplier tous les nombres d'une ligne par un même nombre non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d'une autre.

Ces gestes transforment l'écriture sans changer le rang : ils sont réversibles. Lorsqu'ils portent sur les lignes, ils préservent aussi l'espace engendré par celles-ci. En les enchaînant, on fait apparaître des zéros et des pivots, ce qui rend la matrice plus simple à lire et à exploiter.

Sur une matrice dont les coefficients appartiennent à un corps, une opération élémentaire agit sur toutes les entrées d'une ligne ou d'une colonne. Il en existe trois : échanger deux lignes ; multiplier une ligne par un scalaire non nul ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne. Les mêmes trois transformations s'appliquent aux colonnes. L'exigence « non nul » rend la multiplication réversible. Dans l'addition, la ligne ajoutée est distincte de celle que l'on modifie.

Une matrice élémentaire, notée E, s'obtient en appliquant une seule de ces opérations à une matrice identité. Si A est la matrice initiale et B la matrice transformée, une opération sur les lignes correspond à la multiplication de A par E à gauche ; une opération sur les colonnes correspond à une multiplication à droite.

Comme E est inversible, chaque transformation peut être annulée. Le rang de A est donc égal au rang de B, même si les coefficients et, selon l'opération, le déterminant changent.

Considérons la matrice A à deux lignes et deux colonnes. Sa première ligne, notée L₁, contient 1 et 2 ; sa seconde ligne, notée L₂, contient 2 et 5. L'objectif est de la réduire à la matrice identité en utilisant seulement des additions de lignes.

1. On remplace L₂ par L₂ − 2L₁. Le calcul donne (2 − 2 × 1, 5 − 2 × 2) = (0, 1).
2. On remplace ensuite L₁ par L₁ − 2L₂, avec la nouvelle seconde ligne. Le calcul donne (1 − 2 × 0, 2 − 2 × 1) = (1, 0).

La matrice obtenue est l'identité :Les deux opérations sont réversibles : il suffit d'ajouter deux fois l'autre ligne pour les annuler dans l'ordre inverse.

Le contrôle est direct : en repartant de l'identité, on ajoute 2L₂ à L₁, puis 2L₁ à L₂ en utilisant la ligne alors restaurée. On retrouve successivement (1, 2), puis (2, 5). La matrice initiale et l'identité ont donc le même rang, égal à 2.

Pour résoudre un système linéaire, on effectue des opérations sur les lignes de sa matrice augmentée jusqu'à pouvoir lire les inconnues. Une substitution directe reste préférable lorsqu'une équation isole déjà une inconnue sans calcul supplémentaire.

Pour déterminer un rang, on réduit la matrice et l'on compte les pivots non nuls. Un mineur non nul d'ordre k établit que le rang est au moins égal à k ; pour conclure qu'il vaut exactement k, il faut aussi disposer d'une borne supérieure, par exemple montrer que tous les mineurs d'ordre k + 1 sont nuls.

Pour chercher l'inverse d'une matrice carrée, on place la matrice identité à côté de la matrice donnée et on applique les mêmes opérations aux deux moitiés. Si la moitié gauche ne peut pas devenir l'identité, la matrice n'est pas inversible.

Échange de deux lignes et transposition d'une matrice. Un échange ne déplace que deux lignes choisies. La transposition transforme chaque ligne en colonne : par exemple, l'entrée située en ligne 1, colonne 2 passe en ligne 2, colonne 1.

Opération élémentaire et pivot de Gauss. Une opération élémentaire est un seul geste réversible. Le pivot de Gauss est une méthode qui en enchaîne plusieurs afin d'obtenir une forme échelonnée ; un échange de lignes isolé n'est donc pas toute la méthode.

Multiplier par zéro est interdit. La ligne devient entièrement nulle et son contenu antérieur ne peut plus être retrouvé. Le rang peut alors diminuer ; il faut employer un scalaire non nul.

Ajouter une ligne à elle-même demande un contrôle. Remplacer une ligne par elle-même plus λ fois elle-même revient à la multiplier par 1 + λ. Si λ vaut −1, la ligne s'annule : cette transformation n'est pas élémentaire.

Le rang est préservé, pas toujours le déterminant. Pour une matrice carrée, échanger deux lignes change le signe du déterminant ; multiplier une ligne par un scalaire le multiplie par ce scalaire ; ajouter un multiple d'une autre ligne le conserve.

Les colonnes ne jouent pas le même rôle dans un système. Des opérations sur les lignes conservent les solutions d'une matrice augmentée. Une opération portant uniquement sur les colonnes des coefficients correspond à un changement de variables ; il faut alors enregistrer ce changement au lieu de lire directement les anciennes inconnues. Si l'opération implique la colonne des constantes, elle modifie aussi le second membre et doit être traitée séparément.

Les matrices élémentaires traduisent chaque geste en multiplication matricielle. Leur inverse est encore élémentaire : un échange s'annule par le même échange, une multiplication par un scalaire non nul par la multiplication par son inverse, et une addition d'un multiple par l'addition du multiple opposé. Une suite d'opérations peut ainsi être regroupée en un produit de matrices inversibles.