matrice d'une transvection

Imaginez une grille de nombres qui laisse presque tout en place. Tous les 1 de la diagonale restent là, mais une seule case hors diagonale reçoit un nombre, par exemple 3. Cette petite modification ajoute trois fois une coordonnée à une autre, sans écraser aucune information.

Une telle matrice représente une transvection. Dans l'espace, elle agit comme un cisaillement : un hyperplan entier reste fixe, tandis que les autres vecteurs glissent parallèlement à une même direction.

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps K, muni d'une base ordonnée (e₁, …, e_n). On choisit deux indices distincts i et j, ainsi qu'un scalaire non nul k. La transvection T fixe chaque vecteur de base sauf e_j, et envoie e_j sur e_j + k e_i. Avec des vecteurs-coordonnées écrits en colonnes, sa matrice est :

La matrice I_n est l'identité, et E_ij possède un unique 1 à la ligne i et à la colonne j. Ainsi, T − I a pour image la droite K e_i, appelée direction de la transvection, et pour noyau l'hyperplan des vecteurs dont la coordonnée j est nulle. Le déterminant vaut 1 et l'inverse est I_n − kE_ij. Si k = 0, on obtient l'identité : on parle parfois de transvection triviale, mais la définition stricte réserve souvent le mot transvection au cas k non nul. En convention lignes, la matrice est transposée et l'addition élémentaire porte sur les colonnes plutôt que sur les lignes.

La matrice comporte quatre données essentielles. Sa taille n × n vient de la dimension de l'espace. La diagonale de 1 conserve chaque coordonnée avant l'ajout. Les indices distincts i et j indiquent respectivement la coordonnée qui reçoit l'ajout et celle qui le commande. Enfin, le coefficient k règle l'amplitude et le sens algébrique du cisaillement.

Dans l'exemple conducteur, n = 3, i = 1, j = 2 et k = 3. Le coefficient 3 est donc placé à la première ligne et à la deuxième colonne :

La position (1, 2) suffit à retrouver l'action : la deuxième coordonnée est multipliée par 3 puis ajoutée à la première. La diagonale et cette case hors diagonale construisent toute la matrice ; la couleur ou le tracé choisi pour la représenter n'en font pas partie.

On travaille dans ℝ³, dans la base usuelle (e₁, e₂, e₃). Les données sont i = 1, j = 2 et k = 3. La transvection T fixe e₁ et e₃, et transforme e₂ en e₂ + 3e₁.

1. Placer le coefficient. Le nombre 3 va à la ligne 1 et à la colonne 2. Toutes les autres cases hors diagonale restent nulles.

2. Appliquer la matrice. Pour le vecteur v de coordonnées (2, −1, 4), la deuxième coordonnée commande l'ajout : 2 + 3 × (−1) = −1. Les deux autres coordonnées ne changent pas.

3. Repérer ce qui reste fixe. Tout vecteur (x, 0, z) garde les mêmes coordonnées. L'hyperplan d'équation y = 0 est donc fixé point par point, tandis que le déplacement T(v) − v est toujours parallèle à e₁.

4. Contrôler. Remplacer 3 par −3 donne la matrice inverse. Appliquée à (−1, −1, 4), elle rend (2, −1, 4). Son déterminant vaut aussi le produit des termes diagonaux, soit 1.

Lors d'une élimination de Gauss, multiplier une matrice à gauche par la matrice élémentaire I_n + 3E₁₂ ajoute trois fois la deuxième ligne à la première. Cette opération convient lorsqu'on veut annuler ou simplifier un coefficient sans modifier le déterminant. Un échange de lignes exige au contraire une matrice de permutation.

En géométrie linéaire, la matrice décrit un cisaillement. On la préfère à une rotation lorsque l'hyperplan y = 0 doit rester fixe et que chaque déplacement doit être parallèle à e₁.

Pour inverser une suite d'opérations élémentaires, chaque transvection est particulièrement commode : il suffit de changer k en −k. Le calcul évite une inversion générale, tout en gardant une trace exacte de chaque addition de ligne.

Une matrice de permutation échange des coordonnées : elle possède un unique 1 par ligne et par colonne, mais sa diagonale n'est pas nécessairement remplie de 1. Dans l'exemple, échanger les deux premières lignes ne fixe pas e₁, contrairement à la transvection de l'exemple.

Une dilatation élémentaire multiplie une coordonnée par un scalaire. Son coefficient caractéristique se trouve sur la diagonale et son déterminant est ce scalaire. Une transvection ajoute une coordonnée à une autre et conserve un déterminant égal à 1.

Une matrice triangulaire unipotente peut contenir plusieurs coefficients hors diagonale. Elle n'est donc pas toujours une seule transvection. La matrice de l'exemple a une diagonale identité et un seul coefficient hors diagonale non nul : ces deux vérifications montrent qu'il s'agit d'une transvection.

Direction et vecteur modifié. En convention colonnes, si T(e_j) = e_j + k e_i, la direction est K e_i, car tous les déplacements appartiennent à cette droite. Le vecteur e_j est celui qui est modifié ; les intervertir fausse l'interprétation géométrique.

Convention lignes ou colonnes. Avec des vecteurs-colonnes, une multiplication à gauche ajoute k fois la ligne j à la ligne i. Pour agir sur des vecteurs-lignes, la matrice est transposée. Avant de placer k, il faut donc identifier le côté de l'action.

Coefficient nul. Si k = 0, la case hors diagonale disparaît et la matrice devient l'identité. Toutes les propriétés de calcul subsistent, mais certains auteurs excluent ce cas de la définition d'une transvection.

Produit de transvections. Un produit conserve le déterminant 1, mais il peut avoir plusieurs coefficients hors diagonale ou ne plus fixer le même hyperplan. Il ne faut pas conclure que ce produit est encore une transvection sans calculer le rang de T − I et son hyperplan fixe.

La fiche transvection développe l'application linéaire elle-même, son hyperplan fixe et sa lecture géométrique au-delà de sa matrice.

La matrice élémentaire situe la transvection parmi les matrices qui codent les opérations de lignes utilisées dans l'élimination.

Le Groupe linéaire replace ces transformations inversibles dans la structure algébrique où leurs produits et leurs inverses sont étudiés.