transvection

Imaginez un quadrillage dessiné sur des feuilles empilées. La feuille du bas ne bouge pas, tandis que chaque feuille supérieure glisse parallèlement à la précédente. Le quadrillage devient oblique, mais les points d'une même ligne de base restent fixes.

Une transvection linéaire réalise ce cisaillement sans étirer les volumes. Dans le plan, elle peut envoyer le point de coordonnées (x, y) sur (x + y, y) : plus un point est haut, plus il est décalé horizontalement.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps, et soit Id l'application identité de E. Une transvection linéaire non identique est un endomorphisme T pour lequel le noyau de T − Id est un hyperplan H, tandis que l'image de T − Id est une droite D contenue dans H. Tous les vecteurs de H sont donc fixes. Les autres vecteurs reçoivent un déplacement parallèle à D, dont l'amplitude dépend linéairement du vecteur de départ.

De manière équivalente, il existe une forme linéaire non nulle φ et un vecteur non nul u tels que φ(u) = 0 et $T(x)=x+\phi (x)uT(x)=x+\backslash varphi(x)u$. L'hyperplan H est le noyau de φ et la droite D est engendrée par u. La condition φ(u) = 0 garantit que le déplacement appartient à l'hyperplan fixe. Avec N = T − Id, on obtient N² = 0.

Dans une base adaptée, la matrice diffère de la matrice identité par un seul coefficient hors diagonale. Dans le plan, l'exemple conducteur s'écrit : Son déterminant vaut 1. Dans le cadre affine, le même mécanisme fixe point par point un hyperplan affine et déplace les autres points parallèlement à une direction contenue dans cet hyperplan. La convention de la source inclut aussi l'identité parmi les transvections.

On considère l'application T du plan qui transforme (x, y) en (x + y, y). Les données sont le point P = (2, 1), la matrice de T et l'axe horizontal H d'équation y = 0.

1. Appliquer la règle donne T(P) = (2 + 1, 1) = (3, 1). Le point est donc décalé d'une unité horizontalement, sans changement de hauteur.
2. Soustraire le point initial donne T(P) − P = (1, 0). Ce déplacement appartient bien à la droite horizontale D.
3. Pour un point (x, 0) de H, la règle donne T(x, 0) = (x, 0). L'axe H est fixé point par point.
4. Plus généralement, (T − Id)(x, y) = (y, 0). Son noyau est donc l'axe H d'équation y = 0. Comme y peut prendre toute valeur, son image est la droite horizontale D, contenue dans H.

Le résultat est un cisaillement : P devient P′ = (3, 1). Le contrôle matriciel retrouve les mêmes coordonnées : Enfin, le déterminant vaut 1 × 1 − 0 × 1 = 1.

La figure associée montre le carré de sommets (0, 0), (2, 0), (2, 1) et (0, 1), puis son image. Le bord situé sur H ne bouge pas et le bord de hauteur 1 glisse d'une unité.

Pour reconnaître une transvection à partir d'une matrice A, on étudie A − I. Si son noyau est un hyperplan et si son image est une droite contenue dans ce noyau, le critère est satisfait. Le seul déterminant égal à 1 ne suffit pas.

Lors d'un calcul matriciel, ajouter un multiple d'une ligne à une autre correspond à multiplier par une matrice de transvection. Ce choix est adapté pour éliminer un coefficient tout en conservant le déterminant. Un échange de lignes relève d'une autre matrice élémentaire.

En géométrie affine, on recherche d'abord l'hyperplan fixé et la direction des déplacements. Une transvection convient lorsque cette direction est parallèle à l'hyperplan. Si tous les points subissent exactement le même déplacement non nul, il faut plutôt parler de translation.

Translation. Une translation affine impose le même vecteur de déplacement à tous les points et ne possède aucun point fixe si ce vecteur est non nul. Une transvection affine fixe au contraire tout un hyperplan et le déplacement varie avec la position.

Réflexion. Une réflexion peut également fixer un hyperplan point par point, mais elle déplace les points dans une direction transverse à cet hyperplan et son déterminant vaut −1. Pour une transvection, la direction D est contenue dans l'hyperplan fixe et le déterminant vaut 1.

Rotation de déterminant 1. Une rotation plane non identique a bien un déterminant égal à 1, mais elle ne fixe pas une droite point par point. Le calcul du noyau de T − Id tranche donc entre rotation et transvection.

Identité. La source adopte la convention qui classe l'identité parmi les transvections. Pour l'identité, T − Id est nul : son noyau est tout l'espace et son image n'est pas une droite. Il faut donc traiter ce cas séparément du critère hyperplan-droite.

Dimension 1. Une transvection non identique n'existe pas sur un espace vectoriel de dimension 1 : l'unique hyperplan est réduit au vecteur nul et ne peut contenir une droite non nulle. Seule l'identité subsiste avec la convention retenue.

Déterminant 1. Cette valeur est une conséquence, pas une caractérisation. Une rotation plane non triviale ou la matrice diagonale de coefficients 2 et 1/2 ont aussi un déterminant égal à 1 sans être des transvections. Il faut contrôler le noyau et l'image de T − Id.

Génération de SL. L'affirmation selon laquelle les transvections engendrent le groupe spécial linéaire s'emploie pour les matrices carrées d'ordre au moins 2 sur un corps. Sur un anneau général, les matrices élémentaires peuvent ne pas engendrer tout le groupe spécial linéaire.

La forme T = Id + N, avec N non nul, de rang 1 et tel que N² = 0, relie les transvections aux endomorphismes nilpotents. Elle explique à la fois l'inversibilité de T et la formule simple de son inverse : T⁻¹ = Id − N.

Les matrices de transvection sont aussi les matrices élémentaires qui ajoutent un multiple d'une coordonnée à une autre. Leur composition permet de réaliser l'élimination de Gauss sans modifier le déterminant et, sur un corps, de construire les matrices du groupe spécial linéaire.