GéométrieNotion · Glossaire
symétrie vectorielle
Dans un espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, c'est-à-dire tels que E = F ⊕ G. La symétrie vectorielle de direction G et d'axe F est l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u décomposé de manière unique sous la forme u = x + y avec x ∈ F et y ∈ G, associe le vecteur u' = x − y. Les vecteurs de F sont des points fixes de cette transformation, tandis que ceux de G sont échangés avec leurs opposés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l'axe et de la direction.
- Décomposer un vecteur et calculer son symétrique.
- Distinguer symétrie vectorielle, symétrie orthogonale et projection.
- Reconnaître les conditions d'existence et les cas limites.
En clair
Imaginez un vecteur comme la somme de deux flèches : l'une suit un axe choisi, l'autre une direction complémentaire. La symétrie vectorielle garde la première flèche et retourne la seconde. En recomposant les deux, on obtient le vecteur symétrique.
L'axe et la direction ne sont pas forcément perpendiculaires. L'essentiel est que chaque vecteur se partage d'une seule façon entre ces deux sous-espaces.
Définition
Soit un espace vectoriel E. Deux sous-espaces F et G sont supplémentaires lorsque tout vecteur de E s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G. Cette condition se note E = F ⊕ G.
Pour un vecteur u, notons x sa composante dans F et y sa composante dans G. La symétrie vectorielle s d'axe F et de direction G est l'application linéaire définie par . Elle laisse donc chaque vecteur de F inchangé et remplace chaque vecteur de G par son opposé. Appliquée deux fois, elle redonne le vecteur initial : .
L'axe F et la direction G peuvent avoir plusieurs dimensions. Aucune orthogonalité n'est requise : dans un espace euclidien, on parle de symétrie orthogonale seulement lorsque G est le complément orthogonal de F.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan vectoriel ℝ², prenons pour axe F la droite horizontale engendrée par le vecteur (1, 0), et pour direction G la droite engendrée par (1, 1). Ces droites sont supplémentaires. Cherchons l'image du vecteur u = (3, 2).
1. On écrit la décomposition de u avec un réel a pour la composante sur F et un réel b pour la composante sur G : .
2. La seconde coordonnée donne b = 2. La première donne alors a + b = 3, donc a = 1.
3. Les deux composantes sont ainsi x = (1, 0) dans F et y = (2, 2) dans G. La symétrie conserve x et change y en son opposé.
4. Le vecteur obtenu est . La figure matérialise cette décomposition oblique.
Le contrôle consiste à recommencer : (−1, −2) se décompose en (1, 0) + (−2, −2), puis le second terme change de signe. On retrouve exactement (3, 2).
En pratique
Pour calculer l'image d'un vecteur, on le décompose selon l'axe F et la direction G, puis on change seulement le signe de sa composante dans G. Cette méthode est directe quand des bases de F et de G sont connues.
Dans un repère adapté, formé d'abord avec une base de F puis une base de G, la matrice de la symétrie porte des 1 sur les directions de F et des −1 sur celles de G. Dans un autre repère, un changement de base est nécessaire.
Lorsque la géométrie impose une perpendicularité, on choisit une symétrie orthogonale. Si seule une décomposition en sous-espaces supplémentaires est disponible, la symétrie vectorielle oblique reste bien définie.
À ne pas confondre
Symétrie vectorielle et symétrie affine. Une symétrie vectorielle fixe le vecteur nul et a pour axe un sous-espace vectoriel. Une symétrie par rapport à une droite affine ne passant pas par l'origine ne fixe pas l'origine : elle est affine, et non linéaire.
Symétrie vectorielle et symétrie orthogonale. La première exige seulement E = F ⊕ G. La seconde impose en plus que la direction G soit orthogonale à l'axe F. Dans l'exemple u = (3, 2), la direction engendrée par (1, 1) n'est pas perpendiculaire à l'axe horizontal.
Symétrie et projection. La projection sur F parallèlement à G envoie x + y sur x, tandis que la symétrie envoie x + y sur x − y. Sur le vecteur (3, 2) de l'exemple, la projection vaut (1, 0), mais la symétrie vaut (−1, −2).
Limites et pièges
Sous-espaces non supplémentaires. Si F + G ne couvre pas E, certains vecteurs ne se décomposent pas. Si F et G ont un vecteur non nul en commun, une décomposition peut ne pas être unique. Dans les deux cas, la règle x + y ↦ x − y ne définit pas la symétrie annoncée sur tout E.
Cas extrêmes. Si F = E et G est réduit au vecteur nul, la symétrie est l'identité. Si F est réduit au vecteur nul et G = E, elle envoie chaque vecteur sur son opposé. Ces deux cas respectent encore la définition.
Corps de caractéristique 2. Lorsque 1 + 1 = 0 dans le corps des scalaires, un vecteur et son opposé coïncident. La formule produit alors l'identité, même si G n'est pas réduit au vecteur nul. Les descriptions usuelles par deux signes distincts supposent donc une caractéristique différente de 2.
Pour aller plus loin
L'espace vectoriel fournit le cadre des sous-espaces et de leur somme directe.
La fiche projection prolonge la même décomposition en conservant la composante sur F au lieu de retourner celle sur G.
La notion de valeur propre explique pourquoi les directions de F et de G sont associées respectivement aux facteurs 1 et −1.
L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire replace cet endomorphisme parmi les transformations linéaires.
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