AlgèbreNotion · Glossaire
Adaptée (base)
Une base adaptée à un sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel E est une base de E dont les premiers vecteurs forment une base de F. Cette notion simplifie l'écriture des matrices de projections, de symétries ou d'endomorphismes ayant F comme sous-espace stable. Dans une telle base, la matrice d'un endomorphisme laissant F stable est une matrice par blocs triangulaire. On parle aussi de base adaptée à un drapeau quand on dispose d'une suite de sous-espaces emboîtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une base de E en prolongeant une base du sous-espace F.
- Reconnaître le bloc nul imposé par la stabilité de F.
- Refaire un calcul complet dans ℝ³.
- Distinguer base adaptée, base de F et base orthonormale.
En clair
Imaginez un plan F plongé dans l’espace E. On choisit d’abord deux directions indépendantes qui parcourent ce plan, puis une troisième direction qui permet de quitter le plan. En les rangeant dans cet ordre, on obtient une base de tout l’espace adaptée à F.
Ce rangement garde les coordonnées liées à F au début. Une transformation qui envoie chaque vecteur de F dans F ne peut donc rien faire apparaître hors de F à partir de ces premières directions. Ce zéro forcé devient visible dans sa matrice.
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace de dimension p. Une base ordonnée de E est adaptée à F lorsque ses p premiers vecteurs constituent une base de F. On la construit en choisissant une base de F, puis en la complétant par n − p vecteurs pour obtenir une base de E. Le complément choisi n’est pas unique.
Si un endomorphisme u de E laisse F stable, c’est-à-dire si u(F) est inclus dans F, sa matrice dans une base adaptée a la forme suivante. Le bloc A décrit la restriction de u à F, le bloc C les composantes dans F des images des vecteurs complémentaires, le bloc D l’action induite sur le quotient E/F dans les coordonnées choisies, et le bloc inférieur gauche est nul.
Dans l’exemple conducteur, E est ℝ3, F est le plan des vecteurs (x, y, 0), et la base ordonnée 𝓑 = (e1, e2, e3) est adaptée : e1 et e2 engendrent F, tandis que e3 complète la base. Pour un drapeau, c’est-à-dire une suite de sous-espaces emboîtés, le même ordre est choisi afin que les premiers vecteurs requis forment une base de chaque sous-espace de la suite.
Un exemple, pas à pas
Prenons E = ℝ3, le sous-espace F = {(x, y, 0)} et les vecteurs e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Considérons l’endomorphisme u défini par u(x, y, z) = (x + 2y + z, y − z, 3z).
1. Les vecteurs e1 et e2 forment une base de F.
2. En ajoutant e3, on obtient la base 𝓑 = (e1, e2, e3) de E, adaptée à F.
3. Pour z = 0, on a u(x, y, 0) = (x + 2y, y, 0). Ainsi, u(F) est inclus dans F.
4. Les images des trois vecteurs de 𝓑 donnent les colonnes de la matrice.
2. En ajoutant e3, on obtient la base 𝓑 = (e1, e2, e3) de E, adaptée à F.
3. Pour z = 0, on a u(x, y, 0) = (x + 2y, y, 0). Ainsi, u(F) est inclus dans F.
4. Les images des trois vecteurs de 𝓑 donnent les colonnes de la matrice.
Le contrôle est direct : les deux premières colonnes ont une troisième coordonnée nulle. Elles représentent u(e1) et u(e2), qui appartiennent donc à F. Le bloc inférieur gauche nul confirme la stabilité de F.
En pratique
Pour écrire la matrice d’une projection sur F, on choisit une base adaptée à F et au sous-espace suivant lequel on projette. Les coordonnées conservées et celles annulées apparaissent alors dans des blocs séparés. Si aucun sous-espace complémentaire précis n’est imposé, plusieurs bases adaptées conviennent.
Pour une symétrie qui fixe F et change le signe sur un complément, le même choix fait apparaître un bloc identité sur F et un bloc opposé sur le complément. Une base orthonormale est préférable lorsque le produit scalaire ou une projection orthogonale doit aussi être respecté.
Pour étudier un endomorphisme ayant F comme sous-espace stable, placer d’abord une base de F permet de lire la restriction à F dans le bloc A. Une autre base peut être choisie si elle simplifie davantage l’endomorphisme entier, mais la structure liée à F risque alors de ne plus être visible.
À ne pas confondre
Une base de F ne contient que dim(F) vecteurs de F. Une base de E adaptée à F contient en plus les vecteurs nécessaires pour engendrer E. Dans ℝ3, (e1, e2) est une base du plan F, tandis que (e1, e2, e3) est une base de E adaptée à F.
Une base orthonormale est définie par des longueurs égales à 1 et des vecteurs deux à deux orthogonaux. Une base adaptée est définie par l’ordre de ses vecteurs relativement à F. La base (e1, e1 + e2, e3) est adaptée au même plan F, mais elle n’est pas orthonormale.
Limites et pièges
Le mot « premiers » concerne l’ordre, pas une propriété intrinsèque des vecteurs. Une permutation qui place e3 avant e1 transforme la base standard en une base qui n’est plus adaptée au plan F de l’exemple. Il faut vérifier le segment initial de la base ordonnée.
La forme triangulaire par blocs exige la stabilité de F. Si u(e1) possède une troisième coordonnée non nulle dans l’exemple, le bloc inférieur gauche ne peut pas être nul : changer seulement les vecteurs qui complètent la base de F ne répare pas ce défaut.
Les cas extrêmes sont légitimes. Pour F réduit au vecteur nul, la liste initiale qui forme une base de F est vide, donc toute base de E est adaptée. Pour F = E, toute la base doit être une base de F, ce qui est automatiquement vrai.
Plusieurs sous-espaces quelconques ne forment pas nécessairement un drapeau. La construction adaptée à un drapeau suppose qu’ils sont emboîtés ; sans cette inclusion successive, un unique ordre initial des vecteurs peut être impossible. Il faut alors préciser une autre notion d’adaptation ou traiter les sous-espaces séparément.
Pour aller plus loin
Le glossaire espace vectoriel replace les bases et les sous-espaces dans leur cadre général.
La fiche projection montre une transformation dont la matrice devient particulièrement lisible après le choix d’une base adaptée.
La symétrie vectorielle fournit un second cas où une décomposition de l’espace sépare naturellement les actions de la transformation.
L’entrée algèbre linéaire situe cette construction parmi les méthodes d’étude des espaces, des applications linéaires et de leurs matrices.
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