AlgèbreNotion · Glossaire
Indice de nilpotence
L'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent N est le plus petit entier positif k tel que N^k = 0. Autrement dit, c'est le premier exposant qui annule N : la puissance précédente n'est pas nulle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le premier exposant qui annule un endomorphisme nilpotent.
- Vérifier sur une matrice 3 × 3 que l'indice vaut 3.
- Relier l'indice au polynôme minimal et au plus grand bloc de Jordan.
- Distinguer l'indice du rang, de la dimension du noyau et de la taille de la matrice.
En clair
Imaginez une transformation qui fait descendre des vecteurs le long d'une chaîne : le troisième devient le deuxième, le deuxième devient le premier, puis le premier devient le vecteur nul. Chaque nouvelle application raccourcit la chaîne. Au troisième passage, tout vecteur est envoyé sur zéro.
Le nombre de passages nécessaires pour annuler tous les vecteurs, sans que cela arrive plus tôt, est l'indice de nilpotence. Il mesure donc la longueur de la plus longue chaîne que la transformation peut encore parcourir.
Définition
Soit N un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même. Il est nilpotent lorsqu'il existe un entier positif r pour lequel la puissance Nr est l'application nulle. Son indice de nilpotence est le plus petit entier positif k ayant cette propriété :
La seconde condition exprime la minimalité de k.
Si l'espace a une dimension positive n, toute chaîne strictement raccourcie par N contient au plus n vecteurs indépendants. L'indice vérifie donc 1 ≤ k ≤ n. Pour l'endomorphisme nul, k vaut 1. Le polynôme minimal de N est alors Xk : son exposant donne exactement l'indice.
Dans une base de Jordan, la matrice de N est formée de blocs associés à la valeur propre 0. Une puissance annule un bloc dès que son exposant atteint la taille de ce bloc. L'indice de N est par conséquent la taille du plus grand bloc. Cette valeur ne dépend pas de la base choisie, même si l'écriture de la matrice change.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace ℝ3, on considère l'endomorphisme N dont la matrice dans la base usuelle (e1, e2, e3) est :
Les données sont donc N(e1) = 0, N(e2) = e1 et N(e3) = e2.
1. Calculer la deuxième puissance. En appliquant N deux fois, e3 est envoyé sur e1, tandis que e1 et e2 sont envoyés sur 0. Ainsi :
Cette matrice n'est pas nulle.
2. Calculer la troisième puissance. Une application supplémentaire envoie e1 sur 0. Tous les vecteurs de la base sont alors annulés, donc N3 = 0.
3. Conclure. Puisque N3 = 0 mais N2 ≠ 0, le plus petit exposant qui annule N est 3. L'indice de nilpotence vaut donc 3.
4. Contrôler autrement. La matrice est déjà un unique bloc de Jordan de taille 3 pour la valeur propre 0. La taille de son plus grand bloc redonne bien l'indice 3.
La chaîne e3 → e2 → e1 → 0 rend visibles les trois applications nécessaires et permet de vérifier le calcul sans multiplier toutes les matrices.
En pratique
Pour déterminer l'indice à partir d'une matrice exacte, on calcule ses puissances successives jusqu'à obtenir la matrice nulle. Il faut aussi vérifier que la puissance précédente n'est pas nulle ; sinon, on ne connaît qu'une borne supérieure.
Si les puissances deviennent longues à calculer, le polynôme minimal offre une autre voie. Lorsque celui-ci vaut Xk, son exposant k est l'indice. Un simple polynôme annulateur ne suffit pas si son degré n'est pas minimal.
Quand une forme de Jordan est déjà connue, il suffit de repérer le plus grand bloc associé à 0. Pour une matrice issue de données arrondies, cette lecture exacte est fragile : des méthodes numériques stables sont préférables à la détection de zéros supposés.
À ne pas confondre
Le rang. Le rang compte les directions atteintes par N, tandis que l'indice compte les puissances nécessaires pour annuler N. Dans l'exemple, le rang vaut 2 et l'indice vaut 3 : les deux nombres ne coïncident pas.
La dimension du noyau. Elle compte les vecteurs indépendants annulés dès la première application. Dans l'exemple, le noyau est engendré par e1 et a dimension 1, alors que la chaîne la plus longue contient trois vecteurs et donne l'indice 3.
La multiplicité de la valeur propre 0. Pour toute matrice nilpotente de taille n, cette multiplicité algébrique vaut n. Elle ne distingue donc pas les indices : en dimension 3, la matrice nulle a indice 1, contrairement à l'exemple d'indice 3.
Limites et pièges
L'exposant doit être minimal. Constater N5 = 0 prouve seulement que l'indice est au plus 5. Il faut remonter jusqu'au premier exposant nul et vérifier que la puissance précédente ne l'est pas.
La matrice nulle n'a pas l'indice 0. Pour un espace de dimension positive, la puissance d'exposant 0 est l'identité. L'endomorphisme nul satisfait déjà N1 = 0 ; son indice vaut donc 1.
La taille de la matrice n'est qu'une borne. Une matrice nilpotente n × n a un indice au plus n, mais pas nécessairement égal à n. Une matrice 3 × 3 formée d'un bloc de taille 2 et d'un bloc de taille 1 a pour indice 2.
Les zéros numériques ne sont pas des zéros exacts. Avec des coefficients mesurés ou arrondis, une très petite puissance ne prouve pas la nilpotence. Il faut travailler symboliquement ou annoncer une tolérance et parler d'un comportement numériquement proche, sans attribuer un indice exact.
Pour aller plus loin
La fiche sur l'endomorphisme nilpotent replace l'indice dans l'étude générale des applications linéaires qu'une puissance finit par annuler.
La réduction de Jordan montre comment les chaînes de vecteurs déterminent les blocs et pourquoi leur taille maximale commande l'indice.
Le Polynôme minimal explique pourquoi, pour un endomorphisme nilpotent d'indice k, le polynôme minimal est exactement Xk.
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