AlgèbreNotion · Glossaire
algèbre linéaire
L'algèbre linéaire est la branche de l'algèbre qui a pour objet l'étude des espaces vectoriels et des applications linéaires entre ces espaces. Elle comprend en particulier la théorie des systèmes d'équations linéaires, le calcul matriciel, la notion de déterminant, la réduction des endomorphismes et les formes bilinéaires. Fondamentale dans toutes les branches des mathématiques, elle trouve des applications dans les sciences physiques, l'informatique, l'économie et l'ingénierie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier espaces vectoriels, applications linéaires et matrices.
- Résoudre et contrôler un système linéaire à deux inconnues.
- Distinguer linéaire et affine, puis interpréter correctement un déterminant nul.
En clair
Deux équations donnent deux contraintes sur les mêmes nombres inconnus. On peut les combiner pour trouver les valeurs qui respectent les deux à la fois. L’algèbre linéaire organise ce geste et l’étend à de nombreuses quantités.
Elle décrit aussi des collections de vecteurs et les transformations qui conservent leur addition et leur multiplication par un nombre. Les matrices servent alors à ranger les coefficients et à effectuer les calculs.
Définition
L’algèbre linéaire étudie les espaces vectoriels et les applications linéaires entre eux. Un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments, appelés vecteurs, peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires selon des règles compatibles. Ces scalaires appartiennent à un corps, par exemple les nombres réels.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps de scalaires. Une application u de E vers F est linéaire si, pour tous vecteurs x et y de E et pour tout scalaire λ, elle vérifie et . Une fois des bases choisies, une matrice représente cette application ; ses coefficients dépendent donc des bases.
La discipline comprend notamment la résolution des systèmes d’équations linéaires, le calcul matriciel et les déterminants. Elle étudie aussi la réduction des endomorphismes, c’est-à-dire des applications linéaires d’un espace dans lui-même, ainsi que les formes bilinéaires. Ses outils interviennent en mathématiques, en sciences physiques, en informatique, en économie et en ingénierie.
Un exemple, pas à pas
On cherche deux nombres inconnus, notés x et y. Les données sont les deux contraintes suivantes :
• deux fois x plus y vaut 7 ;
• x moins y vaut 2.
Le système s’écrit :
• deux fois x plus y vaut 7 ;
• x moins y vaut 2.
Le système s’écrit :
Ses coefficients se rangent dans la matrice : chaque ligne reprend une équation et chaque colonne les coefficients de x puis de y. On conserve ici l’élimination comme méthode de résolution.
1. On additionne les deux équations. Les termes y et −y s’annulent, donc .
2. On divise les deux membres par 3 et l’on obtient .
3. On remplace x par 3 dans la seconde équation : , d’où . Les deux droites associées se coupent donc au point de coordonnées (3 ; 1).
Le résultat est x = 3 et y = 1. Le contrôle se refait dans les deux contraintes : 2 × 3 + 1 = 7 et 3 − 1 = 2. Le déterminant de la matrice des coefficients vaut 2 × (−1) − 1 × 1 = −3 ; comme il n’est pas nul, le système admet une solution unique.
En pratique
En sciences physiques, plusieurs contraintes peuvent former un système linéaire. On résout ce système lorsque les inconnues apparaissent seulement au premier degré ; si les relations comportent des produits d’inconnues, il faut un modèle non linéaire.
En informatique, une transformation linéaire se calcule avec une matrice. Ce choix convient lorsque l’addition de deux entrées produit l’addition de leurs images ; une translation, qui déplace aussi l’origine, demande un traitement affine.
En économie ou en ingénierie, plusieurs relations linéaires peuvent être réunies dans un même calcul matriciel. Lorsque les contraintes sont incompatibles et qu’aucune solution exacte n’existe, on cherche plutôt une approximation selon un critère annoncé.
À ne pas confondre
Application linéaire et application affine. Une application linéaire envoie toujours le vecteur nul sur le vecteur nul. La transformation x ↦ 2x + 1 est affine, mais pas linéaire, car elle envoie 0 sur 1.
Équation linéaire et équation non linéaire. Dans une équation linéaire, les inconnues restent au premier degré et ne se multiplient pas entre elles. Ainsi, 2x + y = 7 est linéaire, tandis que x2 + y = 7 ne l’est pas.
Limites et pièges
Un déterminant nul ne signifie pas « aucune solution ». Pour un système carré, il signale seulement l’absence de solution unique. Il faut poursuivre la réduction : le système peut être incompatible ou avoir une infinité de solutions.
Le déterminant ne s’applique qu’aux matrices carrées. Si le nombre de lignes diffère du nombre de colonnes, aucun déterminant de cette matrice n’est défini. Pour étudier le système, on emploie plutôt la réduction et le rang.
Une matrice n’est pas l’application elle-même. Les coefficients changent lorsqu’on change les bases, tandis que l’application linéaire reste la même. Il faut donc noter les bases utilisées avant de comparer deux matrices.
Un vecteur n’est pas forcément une flèche du plan. Une liste de nombres, une fonction ou un polynôme peut appartenir à un espace vectoriel. Le bon réflexe consiste à vérifier les opérations et les scalaires prévus.
Pour aller plus loin
espace vectoriel — Pour préciser les opérations et les règles qui structurent l’ensemble des vecteurs.
application linéaire — Pour approfondir les transformations qui préservent addition et multiplication par un scalaire.
forme bilinéaire — Pour prolonger l’étude vers les fonctions linéaires séparément en chacun de leurs deux arguments.
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