Non-dégénérée (forme bilinéaire)

Imaginez que chaque vecteur soit soumis à tous les tests possibles : on l'associe successivement aux autres vecteurs et l'on observe le nombre produit par la forme bilinéaire. La forme est non dégénérée si aucun vecteur non nul ne reste invisible à tous ces tests.

Un vecteur peut pourtant donner zéro lorsqu'il est testé contre lui-même ou contre certains vecteurs. Ce qui compte est qu'au moins un partenaire révèle chaque vecteur non nul.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Une forme bilinéaire B associe à deux vecteurs de E un scalaire de K, linéairement par rapport à chacun des deux arguments. Elle est non dégénérée à gauche si le seul vecteur u tel que B(u, v) = 0 pour tout vecteur v est le vecteur nul. Elle est non dégénérée à droite si la condition B(u, v) = 0 pour tout vecteur u impose v = 0. Dire que B est non dégénérée signifie que ces deux conditions sont satisfaites. Pour une forme symétrique, elles coïncident.

En dimension finie, choisissons une base de E et notons A la matrice de B dans cette base. Si X et Y sont les colonnes de coordonnées de deux vecteurs, alors :

Le critère ne dépend pas de la base : un changement de base modifie A, mais ne change pas le fait que son déterminant soit nul ou non. Les produits scalaires des espaces euclidiens et la forme de Minkowski sont des exemples non dégénérés ; la seconde n'est toutefois pas définie positive.

Dans le plan réel, considérons la forme B définie par B((x, y), (s, t)) = xs − yt. Les données sont les coordonnées réelles x, y, s et t. Sa matrice dans la base usuelle est la matrice diagonale A dont les coefficients diagonaux sont 1 et −1.

1. Le déterminant de A vaut 1 × (−1) = −1. Il est non nul : la forme est donc non dégénérée.
2. Prenons le vecteur u = (1, 1). Le calcul B(u, u) = 1 − 1 = 0 montre que u est orthogonal à lui-même.
3. Testons le même vecteur avec v = (1, 0). Cette fois, B(u, v) = 1 − 0 = 1. Le vecteur u n'est donc pas orthogonal à tout le plan.

Le contrôle se refait sans déterminant. Si un vecteur (x, y) est orthogonal à tous les vecteurs, son association avec (1, 0) donne x = 0, puis son association avec (0, 1) donne −y = 0. Il faut donc avoir (x, y) = (0, 0), ce qui confirme la non-dégénérescence. La figure résume pourquoi l'égalité B(u, u) = 0 ne suffit pas à conclure à une dégénérescence.

Avec une matrice carrée en dimension finie, on calcule son déterminant. Un déterminant non nul établit immédiatement la non-dégénérescence ; s'il est nul, on cherche plutôt un vecteur non nul du noyau pour exhiber la dégénérescence.

Lorsque le déterminant est pénible à développer, la réduction de la matrice ou la résolution du système AX = 0 offre une autre voie. La forme est non dégénérée exactement lorsque la seule solution est la colonne nulle.

En géométrie euclidienne, le produit scalaire sert à mesurer longueurs et angles parce qu'il est aussi défini positif. Dans un cadre comme celui de Minkowski, on conserve la non-dégénérescence pour identifier les vecteurs, mais on n'interprète plus B(u, u) comme un carré de longueur toujours positif.

Non dégénérée et définie positive. Une forme définie positive vérifie B(u, u) > 0 pour tout vecteur non nul u, ce qui implique la non-dégénérescence. La réciproque est fausse : dans l'exemple B((x, y), (s, t)) = xs − yt, la forme est non dégénérée alors que B((0, 1), (0, 1)) = −1.

Non dégénérée et anisotrope. Une forme quadratique associée est dite anisotrope lorsqu'aucun vecteur non nul u ne vérifie B(u, u) = 0. La non-dégénérescence demande seulement qu'aucun vecteur non nul ne soit orthogonal à tous les vecteurs. Le vecteur (1, 1) de l'exemple sépare nettement les deux critères.

Forme non symétrique. L'expression « orthogonal à tout l'espace » devient ambiguë, car le vecteur peut occuper le premier ou le second argument. Il faut contrôler séparément les noyaux à gauche et à droite. En dimension finie, pour une forme sur E × E, l'inversibilité de la matrice fait coïncider les deux verdicts.

Dimension infinie. Le critère du déterminant n'est plus disponible. L'application qui associe au vecteur u la forme linéaire v ↦ B(u, v) peut être injective sans atteindre tout l'espace dual. Vérifier son injectivité établit donc la non-dégénérescence à gauche, mais ne prouve pas que toute forme linéaire du dual s'écrit sous la forme v ↦ B(u, v), propriété plus forte de surjectivité.

Valeur nulle isolée. Constater B(u, v) = 0 pour une paire, ou même B(u, u) = 0 avec u non nul, ne prouve rien sur la dégénérescence. Il faut trouver un vecteur non nul orthogonal à tous les partenaires, ou vérifier que la matrice a un déterminant nul.

La fiche forme bilinéaire replace la non-dégénérescence parmi les propriétés générales de ces applications à deux arguments.

La fiche matrice de Gram montre comment les valeurs prises sur une base encodent la forme et rendent son critère matriciel calculable.

La fiche forme définie positive précise la condition plus forte qui autorise une interprétation en termes de longueur.