AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de Gram
Soit E un espace vectoriel euclidien et u = (u_1, …, u_n) une famille de n vecteurs de E. La matrice de Gram de cette famille est la matrice carrée d'ordre n dont l'élément (i, j) est le produit scalaire ⟨u_i, u_j⟩. Son déterminant, noté Gram(u_1, …, u_n), est appelé déterminant de Gram de la famille u. La matrice de Gram est toujours semi-définie positive. Elle est définie positive si et seulement si la famille u est libre, ce qui équivaut à l'annulation du déterminant de Gram pour les familles liées. Les déterminants de Gram permettent de calculer des distances dans E : si V est un sous-espace vectoriel de E muni d'une base (e_1, …, e_k) et v un vecteur de E, alors le carré de la distance de v à V est donné par d²(v, V) = Gram(e_1, …, e_k, v) / Gram(e_1, …, e_k).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire la matrice à partir des produits scalaires.
- Relier le signe du déterminant à l'indépendance de la famille.
- Calculer une distance à un sous-espace sur un exemple vérifiable.
- Éviter les confusions avec une matrice de coordonnées.
En clair
Prenez deux flèches issues du même point. Leur longueur et l'angle qui les sépare suffisent à décrire leurs relations géométriques. Une matrice de Gram rassemble précisément ces informations sous forme de produits scalaires.
Sur la diagonale, elle enregistre le carré de la longueur de chaque vecteur. De part et d'autre, elle mesure comment chaque paire est orientée. Son déterminant indique notamment si les vecteurs apportent tous une direction indépendante.
Définition
Dans un espace vectoriel euclidien E, considérons une famille de n vecteurs notés u1, …, un. Sa matrice de Gram, notée G, est la matrice carrée d'ordre n définie par . L'entrée située à la ligne i et à la colonne j est donc le produit scalaire des vecteurs correspondants.
Comme le produit scalaire est symétrique, G est symétrique. Pour toute liste de nombres réels x1, …, xn, la forme quadratique associée à G vérifie ; elle est donc positive ou nulle. La matrice est ainsi toujours semi-définie positive. Elle est définie positive exactement lorsque la famille est libre.
Le déterminant de G s'appelle le déterminant de Gram et se note Gram(u1, …, un). Il est nul pour une famille liée et strictement positif pour une famille libre. Si e1, …, ek forment une base d'un sous-espace V, le rapport donne le carré de la distance d'un vecteur v à V.
De quoi c'est fait
Une matrice de Gram dépend de quatre éléments. Il faut d'abord un espace euclidien, qui fournit le produit scalaire. Il faut ensuite une famille ordonnée de vecteurs : chaque vecteur détermine une ligne et une colonne. Les produits scalaires deux à deux remplissent les cases, et leur organisation carrée forme la matrice. Enfin, le déterminant résume une propriété de toute la famille.
Les cases diagonales ⟨ui, ui⟩ sont les carrés des normes. Les deux cases associées à ui et uj sont égales, d'où la symétrie par rapport à la diagonale. Changer l'ordre des vecteurs permute simultanément les lignes et les colonnes, sans changer le déterminant de Gram. Ces données suffisent à tester si la famille est libre et, avec une base de sous-espace, à calculer une distance.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien usuel, prenons le vecteur e = (1, 0), le vecteur v = (1, 1) et la droite V engendrée par e. Nous allons construire leur matrice de Gram, puis retrouver la distance de v à V.
1. Les produits scalaires valent ⟨e, e⟩ = 1, ⟨e, v⟩ = ⟨v, e⟩ = 1 et ⟨v, v⟩ = 2.
2. En plaçant ces quatre valeurs selon l'ordre (e, v), on obtient .
3. Son déterminant vaut Gram(e, v) = 1 × 2 − 1 × 1 = 1. Comme Gram(e) = ⟨e, e⟩ = 1, la formule de distance donne d2(v, V) = 1 / 1 = 1.
La figure représente les mêmes données : la composante verticale de v mesure une unité et relie v à la droite V par un segment perpendiculaire.
4. La distance est donc d(v, V) = 1. Le contrôle géométrique est immédiat : le point (1, 1) se trouve exactement une unité au-dessus de l'axe horizontal V.
En pratique
Pour tester une famille de vecteurs, on calcule les produits scalaires puis le déterminant de Gram. Un déterminant strictement positif certifie que la famille est libre ; une valeur nulle révèle une dépendance. Si seules les coordonnées comptent, un calcul direct de rang constitue une autre voie.
Pour mesurer la distance d'un vecteur à un sous-espace, on choisit une base de ce sous-espace et on forme deux déterminants de Gram. Le rapport indiqué dans la définition donne la distance au carré. Une projection orthogonale est une alternative lorsque le vecteur projeté est déjà disponible.
Lorsque les vecteurs sont orthogonaux, toutes les cases hors diagonale sont nulles. La matrice diagonale rend alors les normes et le déterminant directement lisibles.
À ne pas confondre
Matrice de Gram et matrice de coordonnées. Une matrice de coordonnées range les composantes des vecteurs dans une base choisie. Une matrice de Gram range leurs produits scalaires. Dans l'exemple, les colonnes e et v forment , tandis que leur matrice de Gram est .
Déterminant de Gram et déterminant d'une matrice carrée de vecteurs. Le premier est défini pour toute famille finie dans un espace euclidien. Le second exige autant de coordonnées que de vecteurs. Dans le plan, lorsque les coordonnées sont exprimées dans une base orthonormée, le déterminant de Gram de deux vecteurs est le carré du déterminant de leur matrice de coordonnées.
Limites et pièges
Déterminant nul. Le seuil exact est 0 : il signale une famille liée, pas une matrice de Gram mal construite. Il ne faut alors ni conclure à une indépendance ni inverser cette matrice.
Dénominateur nul dans la formule de distance. Si Gram(e1, …, ek) vaut 0, la famille choisie n'est pas une base. Il faut retirer les vecteurs dépendants et conserver une véritable base de V avant d'appliquer le rapport.
Semi-définie ne signifie pas définie positive. Toute matrice de Gram donne des valeurs positives ou nulles. La stricte positivité pour toute combinaison non nulle n'apparaît que si la famille est libre.
La matrice dépend du produit scalaire. Garder les mêmes vecteurs tout en changeant le produit scalaire peut changer toutes les entrées. Il faut donc fixer la structure euclidienne avant le calcul.
Pour aller plus loin
produit scalaire — Approfondir l'opération qui fournit chaque coefficient de la matrice de Gram.
famille libre — Préciser le critère d'indépendance détecté par le déterminant de Gram.
La lente émergence des espaces euclidiens — Situer le cadre euclidien dans lequel produits scalaires, normes et distances se rencontrent.
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