Maschke (théorème de)

Imaginez un plan où une symétrie échange les deux coordonnées d'un point. Deux directions restent alors stables : la diagonale, où les coordonnées sont égales, et l'antidiagonale, où elles sont opposées. Chaque vecteur se partage de façon unique entre ces deux directions.

Le théorème de Maschke garantit ce type de découpage pour toute action linéaire d'un groupe fini, sous une condition sur le corps de nombres utilisé. Une représentation compliquée devient ainsi une somme de briques qui ne se décomposent plus.

Une représentation linéaire d'un groupe fini associe à chaque élément du groupe une transformation linéaire inversible d'un espace vectoriel, de façon compatible avec la loi du groupe. Un sous-espace est invariant lorsque toutes ces transformations envoient ses vecteurs dans ce même sous-espace. Une représentation est irréductible lorsque ses seuls sous-espaces invariants sont l'espace nul et l'espace entier.

Le théorème de Maschke affirme que, si la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe, tout sous-espace invariant possède un complément invariant. En répétant cette séparation, tout espace de représentation de dimension finie s'écrit comme une somme directe de sous-espaces irréductibles. La somme est directe : chaque vecteur admet une décomposition unique selon les composantes choisies.

Sur le corps des nombres complexes, de caractéristique nulle, la condition est automatiquement satisfaite pour tout groupe fini. La décomposition en sous-espaces précis n'est pas nécessairement unique, mais les types de composantes irréductibles et leurs multiplicités le sont à isomorphisme près.

Soit un groupe fini G, d'ordre |G|, et une représentation de dimension finie sur un corps K. Si la caractéristique de K ne divise pas |G|, alors la représentation est complètement réductible : son espace V est une somme directe de sous-représentations irréductibles. De manière équivalente, pour tout sous-espace invariant W de V, il existe un sous-espace invariant U tel que $V=W\oplus UV=W\backslash oplus\; U$.

Le théorème concerne une représentation linéaire de dimension finie d'un groupe G lui-même fini. Il faut connaître le corps K des scalaires, sa caractéristique et le nombre |G| d'éléments du groupe. La condition vérifiable est que la caractéristique de K ne divise pas |G|. En caractéristique zéro, elle est toujours remplie.

Si cette divisibilité échoue, la conclusion n'est plus garantie. Par exemple, sur le corps à deux éléments, l'action du groupe à deux éléments qui échange les coordonnées laisse stable la diagonale, mais aucun autre sous-espace de dimension un ne fournit de complément invariant. Il faut alors étudier directement les sous-modules et leurs extensions, sans supposer une décomposition en somme directe.

Considérons le groupe à deux éléments, formé de l'identité et d'une symétrie s. Sur le plan réel V, la transformation s échange les coordonnées : s(x, y) = (y, x). Les réels ont caractéristique zéro, donc la condition de Maschke est satisfaite.

1. La diagonale D rassemble les vecteurs (t, t). Elle est invariante, car s(t, t) = (t, t).

2. Partons de la projection p définie par p(x, y) = (y, y), qui a pour image D mais n'est pas compatible avec la symétrie. Moyennons-la sur les deux éléments du groupe : $\bar{p}=\frac{1}{2}(p+s^{-1}ps)\backslash overline\; p=\backslash frac12(p+s^\{-1\}ps)$.

3. Le calcul donne $\bar{p}(x,y)=(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2})\backslash overline\; p(x,y)=\backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\},\backslash frac\{x+y\}\{2\}\backslash right)$. Son noyau est l'antidiagonale A, formée des vecteurs (t, −t), elle aussi invariante. La figure rend visibles ces deux directions complémentaires.

4. Ainsi, tout vecteur se décompose de façon unique : Le premier terme appartient à D et le second à A. Pour contrôler, leur somme redonne (x, y), et s fixe le premier tout en changeant le signe du second.

Pour analyser une représentation d'un groupe fini, on vérifie d'abord la caractéristique du corps. Si elle ne divise pas l'ordre du groupe, on peut chercher les composantes irréductibles séparément plutôt que manipuler toute la représentation d'un bloc.

Lorsqu'un sous-espace invariant est déjà connu, l'outil pratique est la moyenne d'une projection sur tous les éléments du groupe. Cette moyenne conserve l'image voulue et devient compatible avec l'action ; son noyau fournit alors un complément invariant.

Si la caractéristique divise l'ordre du groupe, ce raccourci est interdit, car diviser par |G| n'est pas possible dans le corps. On remplace alors la recherche automatique d'un complément par une étude des sous-espaces invariants et des extensions entre composantes.

Une représentation irréductible ne possède aucun sous-espace invariant propre non nul. Une représentation complètement réductible peut au contraire en posséder plusieurs, mais elle est une somme directe de représentations irréductibles. Dans l'exemple du plan, les deux droites D et A sont irréductibles, tandis que leur somme V est réductible et complètement réductible.

Un complément vectoriel d'un sous-espace invariant n'est pas forcément un complément invariant. Le premier assure seulement une somme directe d'espaces vectoriels ; le second doit aussi rester stable sous chaque transformation du groupe. Dans l'exemple, l'axe horizontal complète D vectoriellement mais la symétrie l'envoie sur l'axe vertical.

Le cas charnière est une caractéristique positive p qui divise |G|. Dans le corps, l'entier |G| vaut alors zéro : son inverse n'existe pas, tandis que la moyenne utilisée dans la preuve demanderait précisément cet inverse. La conclusion peut échouer ; il faut vérifier la décomposition au cas par cas.

Le théorème garantit l'existence d'une décomposition, pas un choix canonique de chaque sous-espace irréductible. Deux décompositions peuvent employer des sous-espaces différents. Il faut comparer les composantes à isomorphisme près et tenir compte de leurs multiplicités, plutôt que d'attendre des droites ou des bases uniques.

La finitude du groupe est essentielle à la moyenne sur tous ses éléments. Pour un groupe infini, cette somme finie n'existe pas sous cette forme. Il faut rechercher d'autres hypothèses ou d'autres outils avant de conclure à la complète réductibilité.

La fiche Irréductible (représentation) précise ce qui fait d'une composante une brique indécomposable.

La caractéristique d'un corps explique le nombre qui décide si la moyenne de Maschke peut être divisée par l'ordre du groupe.