AlgèbreReprésentation graphique · Glossaire
Complètement réductible (représentation)
Une représentation d'un groupe est dite complètement réductible si elle peut s'écrire comme somme directe de représentations irréductibles. Ce concept entretient une analogie avec la diagonalisation des matrices : dans les deux cas, on cherche à décomposer l'espace en sous-espaces élémentaires stables, mais la complète réductibilité concerne l'action de tous les éléments du groupe. Pour les représentations de groupes finis sur un corps de caractéristique nulle ou ne divisant pas l'ordre du groupe, le théorème de Maschke garantit la complète réductibilité. Cette propriété est fondamentale en théorie des représentations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la complète réductibilité par une somme directe de sous-espaces invariants irréductibles.
- Vérifier le critère sur l'action qui échange les deux coordonnées du plan.
- Savoir quand le théorème de Maschke garantit la décomposition et quand cette garantie disparaît.
- Distinguer complète réductibilité, irréductibilité, simple réductibilité et diagonalisation d'une matrice.
En clair
Imaginez un plan sur lequel une symétrie échange les deux coordonnées. Deux droites particulières restent pourtant chacune en place : celle des points (a, a) et celle des points (a, −a). Sur la première, la symétrie ne change rien ; sur la seconde, elle inverse le sens.
La représentation est complètement réductible lorsque tout l'espace se découpe ainsi en morceaux indépendants, stables sous toutes les actions du groupe, et qu'aucun morceau ne peut encore être décomposé de la même manière.
Définition
Une représentation d'un groupe G sur un espace vectoriel V associe à chaque élément du groupe une transformation linéaire inversible de V, de façon compatible avec la loi de G. Un sous-espace de V est invariant lorsque toutes ces transformations envoient ses vecteurs dans ce même sous-espace. Une représentation non nulle est irréductible lorsqu'elle ne possède aucun sous-espace invariant autre que le sous-espace nul et l'espace entier.
La représentation est complètement réductible s'il existe des sous-espaces invariants irréductibles V1, …, Vr dont la somme est directe et remplit V : . Chaque vecteur de V s'écrit alors d'une manière unique comme somme d'un vecteur pris dans chacun de ces sous-espaces. De façon équivalente, dans ce cadre, tout sous-espace invariant admet un complément lui aussi invariant.
Pour un groupe fini, le théorème de Maschke assure cette décomposition lorsque la caractéristique du corps est nulle ou ne divise pas l'ordre du groupe. La condition sur la caractéristique est essentielle : sans elle, la conclusion n'est plus garantie. Le parallèle avec la diagonalisation porte sur la même idée de décomposition en sous-espaces élémentaires stables.
Où on le rencontre
On rencontre cette notion lorsqu'un groupe agit linéairement sur un espace de vecteurs : symétries d'une figure, permutations de coordonnées ou transformations décrites par des matrices. Quatre indices annoncent le problème : un même espace V, plusieurs transformations indexées par les éléments d'un groupe, des sous-espaces qui restent stables sous chacune d'elles, et la recherche de blocs irréductibles.
La décomposition porte l'information structurelle de la représentation : elle sépare l'action globale en actions plus petites, sans perdre aucun vecteur et sans chevauchement entre les composantes. Dans l'exemple de l'échange des coordonnées, les deux diagonales du plan sont précisément ces composantes stables.
Le mode d'emploi
Le point à lire est la manière dont l'action du groupe se répartit entre des sous-espaces invariants. Premièrement, repérez les sous-espaces conservés par toutes les transformations, et non par une seule. Deuxièmement, vérifiez que les morceaux proposés sont irréductibles. Troisièmement, contrôlez que leur somme couvre tout V. Quatrièmement, vérifiez que cette somme est directe, donc que la décomposition de chaque vecteur est unique.
La convention décisive est l'invariance sous l'action entière du groupe. Une base qui rend une matrice diagonale peut donner l'impression que tout est réglé ; elle ne suffit pas si d'autres matrices de la représentation mélangent encore les blocs. Le bon réflexe consiste donc à tester chaque sous-espace candidat contre tous les éléments du groupe, ou contre un ensemble de générateurs qui détermine leur action.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe à deux éléments {e, s} agissant sur le plan réel ℝ2. L'élément e ne change rien. L'élément s échange les coordonnées : s(x, y) = (y, x). Les données sont donc le plan V = ℝ2, la transformation identité et la matrice de s :
1. Pour le vecteur u = (1, 1), on obtient s(u) = u. La droite V+ engendrée par u est donc invariante.
2. Pour le vecteur v = (1, −1), on obtient s(v) = −v. La droite V− engendrée par v est elle aussi invariante.
3. Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Ils forment une base du plan, donc . Toute représentation sur une droite non nulle est irréductible.
La représentation est donc complètement réductible. Pour contrôler le résultat, tout vecteur (x, y) se réécrit de façon unique : . L'échange conserve le premier terme et change le signe du second.
En pratique
Pour étudier une représentation, on cherche ses sous-espaces invariants puis on tente de leur trouver des compléments invariants. Lorsque cette étape réussit jusqu'à obtenir des composantes irréductibles, le problème peut être traité séparément sur chaque composante.
Pour un groupe fini sur un corps de caractéristique nulle, ou de caractéristique ne divisant pas l'ordre du groupe, le théorème de Maschke donne directement la complète réductibilité. Il évite alors de construire tous les compléments un par un.
Pour relier le problème à des matrices, on cherche une base adaptée aux sous-espaces invariants communs. Les matrices de tous les éléments prennent alors une forme par blocs. Si une seule matrice est étudiée, la diagonalisation est l'outil voisin à privilégier ; une représentation de groupe exige la stabilité sous toute l'action.
À ne pas confondre
Représentation irréductible. Elle ne possède aucun sous-espace invariant propre non nul. Une représentation complètement réductible peut, au contraire, être réductible : dans l'exemple du plan, V+ est un sous-espace invariant propre, mais le plan est la somme directe de V+ et V−.
Représentation réductible. Ce mot signale seulement l'existence d'un sous-espace invariant propre non nul. Il ne garantit pas que ce sous-espace possède un complément invariant. Le critère qui tranche est précisément l'existence d'une décomposition complète en somme directe d'irréductibles.
Diagonalisation d'une matrice isolée. Elle décompose l'espace en espaces propres d'un seul opérateur. La complète réductibilité d'une représentation porte sur l'action coordonnée de tous les éléments du groupe. Une base adaptée à une seule matrice ne suffit pas si les autres transformations ne conservent pas ses espaces propres.
Limites et pièges
La caractéristique peut faire échouer Maschke. Pour un groupe fini d'ordre n, la garantie vaut si la caractéristique du corps est nulle ou ne divise pas n. Si elle divise n, il faut examiner directement les sous-espaces et leurs compléments invariants ; la complète réductibilité n'est plus automatique.
Un sous-espace invariant ne suffit pas. Sa présence montre que la représentation est réductible, mais pas qu'elle est complètement réductible. Le symptôme du blocage est l'absence de complément invariant ; il faut alors renoncer à annoncer une somme directe d'irréductibles.
Les blocs doivent être communs à toute l'action. Décomposer l'espace pour une transformation particulière peut produire des sous-espaces que les autres éléments du groupe échangent ou mélangent. Il faut tester la stabilité sous chaque transformation de la représentation, ou sous des générateurs dont l'action détermine toutes les autres.
Pour aller plus loin
La fiche Irréductible (représentation) précise la nature des briques qui apparaissent dans toute décomposition complètement réductible.
Le théorème de Maschke explique pourquoi ces décompositions existent pour les groupes finis lorsque la caractéristique du corps convient.
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